Calcule a circulação do campo vetorial F ao longo da curva C, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, F = y i - x j + (x + y) k, com C a curva x^2 + y^2 = z e z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a circulação do campo vetorial F ao longo da curva C de duas maneiras: direto e usando o Teorema de Stokes. O campo vetorial é dado por:
E a curva C é a interseção das superfícies com . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, como integrais de linha e o Teorema de Stokes. Vamos precisar entender como parametrizar a curva C e aplicar as fórmulas certas para resolver.

Passo 2

Cálculo Direto da Circulação
Primeiro, vamos calcular diretamente a circulação, que é a integral de linha do campo F ao longo da curva C. Para fazer isso, precisamos parametrizar a curva C.
A curva C está definida por e . Substituindo por 1 na primeira equação, temos:
Isso é um círculo de raio 1 no plano . Podemos parametrizar essa curva usando coordenadas polares:
onde varia de a .
Agora, precisamos calcular ao longo dessa parametrização:
O vetor derivada da parametrização ( ) é:
A circulação é dada por:
Vamos calcular o produto escalar:
Então, a integral fica:

Passo 3

Usando o Teorema de Stokes
O Teorema de Stokes relaciona a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com o fluxo do rotacional de F através de uma superfície S que tem C como contorno. A fórmula é:
Primeiro, vamos calcular o rotacional de F:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja fronteira seja C. Vamos escolher o disco no plano com .
O vetor normal para essa superfície é (apontando para cima).
Então, o produto escalar é:
A integral de superfície fica:
Á
A área do disco de raio 1 é , então:

Resposta

A circulação do campo vetorial F ao longo da curva C é em ambas as abordagens.

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