Sejam umaa superfície dada na forma paramétrica por
com , e um campo vetorial. Calcule o fluxo de através de de duas maneiras: primeiro por um cálculo direto e pelo Teorema de Stokes. [resp. ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida por uma equação paramétrica e um campo vetorial . O objetivo é calcular o fluxo do rotacional de através de de duas maneiras diferentes: diretamente e usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender conceitos como parametrização de superfícies, campos vetoriais, rotacional e o próprio Teorema de Stokes.

Passo 2

Vamos começar calculando o rotacional de . O campo vetorial dado é:
O rotacional de , denotado por , é dado pela seguinte matriz determinante:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície usando as variáveis e :
Para calcular o fluxo diretamente, precisamos determinar o vetor normal à superfície. Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
O vetor normal é dado pelo produto vetorial :

Passo 4

O fluxo do rotacional de através de é dado por:
Substituindo e :
Portanto, a integral fica:
Como , estamos integrando sobre o disco de raio 1 no plano .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Observando que as funções e são ímpares e estamos integrando sobre uma região simétrica ao redor da origem, suas integrais serão zero. Assim, a integral simplifica para:
Á
A área do disco de raio 1 é , então:

Passo 6

Agora, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona o fluxo do rotacional de através de com a integral de ao longo da fronteira de . A fronteira de é o círculo .
Parametrizando a fronteira com e , onde varia de a :
A derivada em relação a é:
Simplificando:
Agora, substituímos na parametrização:
A integral ao longo da fronteira é:
Simplificando:
As integrais das funções ímpares e sobre o intervalo são zero. Portanto, resta:

Resposta

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Calcule a circulação do campo vetorial ao longo da curva , de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com a curva e .
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Encontre o Laplaciano para coordenadas esféricas.
OBS: Aceito se você chegar até aqui:
Calcule o rotacional da função: