Encontre o Laplaciano nabla^2 para coordenadas esféricas.
OBS: Aceito se você chegar até aqui:
nabla^2=1r partial^2partial r^2(r)+1r^2 sen theta partialpartial theta(sen theta partialpartial theta)+1r^2 sen^2 theta partial^2partial phi^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Laplaciano nas coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente em coordenadas esféricas, que são muito úteis quando o problema tem simetria esférica. Vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam nessas coordenadas para chegar na expressão do Laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. É uma operação que envolve a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a todas as coordenadas espaciais. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
nabla^2 f = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 + partial^2 fpartial z^2
Mas como a gente vai para coordenadas esféricas, precisamos adaptar essa expressão para essas novas coordenadas: (raio), (ângulo polar) e (ângulo azimutal).

Passo 3

Nas coordenadas esféricas, as posições são descritas por , e , e as derivadas parciais mudam de forma. Para encontrar o Laplaciano nessas coordenadas, a gente utiliza a relação que leva em conta como as direções mudam com , e . A expressão geral do Laplaciano em coordenadas esféricas é um pouco mais complexa devido à dependência angular.

Passo 4

Vamos construir o Laplaciano passo a passo. Primeiro, a parte radial:
1r^2 partialpartial r ( r^2 partial fpartial r )
Essa parte considera como a função varia com a distância radial .

Passo 5

Depois, a parte angular em relação a 1r^2 sin theta partialpartial theta ( sin theta partial fpartial theta ) :
Aqui, aparece devido à geometria esférica, afetando como a função varia com o ângulo polar.

Passo 6

Por fim, a parte angular em relação a 1r^2 sin^2 theta partial^2 fpartial phi^2 :
Essa parte lida com a variação da função no ângulo azimutal .

Resposta

Juntando tudo, o Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
nabla^2 f = 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial fpartial r ) + 1r^2 sin theta partialpartial theta ( sin theta partial fpartial theta ) + 1r^2 sin^2 theta partial^2 fpartial phi^2

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