Encontre o Laplaciano
para coordenadas esféricas.
OBS: Aceito se você chegar até aqui:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o Laplaciano
nas coordenadas esféricas. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente em coordenadas esféricas, que são muito úteis quando o problema tem simetria esférica. Vamos precisar entender como as derivadas parciais funcionam nessas coordenadas para chegar na expressão do Laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. É uma operação que envolve a soma das segundas derivadas parciais de uma função em relação a todas as coordenadas espaciais. Em coordenadas cartesianas, ele é dado por:
Mas como a gente vai para coordenadas esféricas, precisamos adaptar essa expressão para essas novas coordenadas:
(raio),
(ângulo polar) e
(ângulo azimutal).
Passo 3
Nas coordenadas esféricas, as posições são descritas por
,
e
, e as derivadas parciais mudam de forma. Para encontrar o Laplaciano nessas coordenadas, a gente utiliza a relação que leva em conta como as direções mudam com
,
e
. A expressão geral do Laplaciano em coordenadas esféricas é um pouco mais complexa devido à dependência angular.
Passo 4
Vamos construir o Laplaciano passo a passo. Primeiro, a parte radial:
Essa parte considera como a função varia com a distância radial
.
Passo 5
Depois, a parte angular em relação a
:
Aqui,
aparece devido à geometria esférica, afetando como a função varia com o ângulo polar.
Passo 6
Por fim, a parte angular em relação a
:
Essa parte lida com a variação da função no ângulo azimutal
.
Resposta
Juntando tudo, o Laplaciano em coordenadas esféricas fica:
Exercícios relacionados
Sejam
umaa superfície dada na forma paramétrica por
com
, e
um campo vetorial. Calcule o fluxo de
através de
de duas maneiras: primeiro por um cálculo direto e pelo Teorema de Stokes. [resp.
]
Calcule a circulação do campo vetorial
ao longo da curva
, de duas maneiras
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente, , com
a curva
e
.
i. Por um cálculo direto.
ii. Usando o Teorema de Stokes,
em cada um dos seguintes casos:Reciprocamente,
Calcule o rotacional da função:
No intervalo
, utilizando a regra do trapézio, encontrar a integral de
considerando
.