Calcule a circulação de F(x, y)=(x^2, y^2) ao redor do triângulo com vértices em (0,0),(1,0),(1,1), usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial F(x, y)=(P(x, y), Q(x, y)) ao redor de uma curva fechada C é dada pela integral de linha ointC P d x+Q d y.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos calcular a circulação do campo vetorial ao redor de um triângulo com vértices em , e utilizando o Teorema de Green.
Conteúdos da Matéria:
  • Integral de Linha: Calcula a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada.
  • Teorema de Green: Relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O que Vamos Precisar:
  • Entender como aplicar o Teorema de Green.
  • Calcular derivadas parciais das componentes do campo vetorial.
  • Configurar e resolver uma integral dupla sobre a região triangular.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Green
O Teorema de Green nos permite transformar a circulação ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva :
No nosso caso, temos:

Passo 3

Calculando as Derivadas Parciais Necessárias
Precisamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x(y^2) = 0 e partial Ppartial y = partialpartial y(x^2) = 0 :

Passo 4

Substituindo no Teorema de Green
Substituindo as derivadas calculadas na expressão do Teorema de Green:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD (0 - 0) , dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0

Passo 5

Conclusão
A circulação do campo vetorial ao redor do triângulo dado é zero.

Resposta

A circulação do campo vetorial é igual a .

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