Calcule a circulação de
ao redor do triângulo com vértices em
, usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é dada pela integral de linha
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Vamos calcular a circulação do campo vetorial
ao redor de um triângulo com vértices em
,
e
utilizando o Teorema de Green.
Conteúdos da Matéria:
- Integral de Linha: Calcula a circulação de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada.
- Teorema de Green: Relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva.
O que Vamos Precisar:
- Entender como aplicar o Teorema de Green.
- Calcular derivadas parciais das componentes do campo vetorial.
- Configurar e resolver uma integral dupla sobre a região triangular.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Green
O Teorema de Green nos permite transformar a circulação
em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva
:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Calculando as Derivadas Parciais Necessárias
Precisamos calcular
e
:
Passo 4
Substituindo no Teorema de Green
Substituindo as derivadas calculadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Conclusão
A circulação do campo vetorial
ao redor do triângulo dado é zero.
Resposta
A circulação do campo vetorial é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto
Verifique o Teorema de Green para o campo
ao redor da região limitada pelo triângulo com vértices em
.
Calcule a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
de
a
.