Verifique o Teorema de Green para o campo ao redor da região limitada pelo triângulo com vértices em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer verificar o Teorema de Green para o campo vetorial na região limitada pelo triângulo com vértices em , e . Basicamente, isso significa que vamos comparar uma integral de linha ao redor desse triângulo com uma integral dupla sobre a área do triângulo. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona essas duas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que:
No nosso caso, . Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Substituindo na expressão do teorema:

Passo 3

Agora, precisamos definir os limites de integração para a região triangular. O triângulo tem vértices em , e . Vamos integrar primeiro em e depois em .
Para um dado , varia de até . E varia de até . Então, nossa integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :

Resposta

Portanto, a integral dupla sobre a região triangular é . Segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor do triângulo também será , confirmando que o Teorema de Green é válido para o campo nessa região.

Exercícios relacionados

Calcule a circulação de ao redor do triângulo com vértices em , usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é dada pela integral de linha .
Calcule a integral de linha para o campo ao longo da curva de a .
Calcule a integral de linha ao longo da curva parametrizada por , com .