Verifique o Teorema de Green para o campo
ao redor da região limitada pelo triângulo com vértices em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer verificar o Teorema de Green para o campo vetorial
na região limitada pelo triângulo com vértices em
,
e
. Basicamente, isso significa que vamos comparar uma integral de linha ao redor desse triângulo com uma integral dupla sobre a área do triângulo. Para resolver, vamos precisar aplicar o Teorema de Green, que relaciona essas duas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que:
No nosso caso,
. Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Substituindo na expressão do teorema:
Passo 3
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região triangular. O triângulo tem vértices em
,
e
. Vamos integrar primeiro em
e depois em
.
Para um dado
,
varia de
até
. E
varia de
até
. Então, nossa integral dupla fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Resposta
Portanto, a integral dupla sobre a região triangular é
. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor do triângulo também será
, confirmando que o Teorema de Green é válido para o campo
nessa região.
Exercícios relacionados
Calcule a circulação de
ao redor do triângulo com vértices em
, usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é dada pela integral de linha
.
Calcule a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
de
a
.
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
parametrizada por
, com
.