Calcule a integral de linha integralC F cdot d r para o campo F(x, y, z)=(x y, z, x) ao longo da curva C: r(t)= (t, t^2, t^3) de t=0 a t=1.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha para o campo ao longo da curva definida por de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição r(t) = (t, t^2, t^3) r'(t) = ( ddt t, ddt t^2, ddt t^3 ) = (1, 2t, 3t^2) em relação a , ou seja, . Isso nos dará o vetor tangente à curva.

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização F(x, y, z) = (x y, z, x) F(r(t)) = (t cdot t^2, t^3, t) = (t^3, t^3, t) no campo para obter .

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t) = (t^3, t^3, t) cdot (1, 2t, 3t^2) = t^3 cdot 1 + t^3 cdot 2t + t cdot 3t^2 = t^3 + 2t^4 + 3t^3 :
t^3 + 2t^4 + 3t^3 = 4t^3 + 2t^4
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de integral0^1 (4t^3 + 2t^4) , dt a integral 4t^3 , dt = 4 cdot t^44 = t^4 integral 2t^4 , dt = 2 cdot t^55 = 25t^5 :
integral0^1 (4t^3 + 2t^4) , dt = [ t^4 + 25t^5 ]0^1 = (1 + 25) - (0 + 0) = 75
Vamos integrar termo a termo:
Então:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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