Calcule a integral de linha para o campo ao longo da curva de a .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de linha para o campo ao longo da curva definida por de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a , ou seja, . Isso nos dará o vetor tangente à curva.

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização no campo para obter .

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:
Então:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Verifique o Teorema de Green para o campo ao redor da região limitada pelo triângulo com vértices em .
Calcule a circulação de ao redor do triângulo com vértices em , usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada é dada pela integral de linha .
Calcule a integral de linha ao longo da curva parametrizada por , com .
Encontre a integral ao longo do caminho que vai de a via o ponto .