Calcule a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral de linha
para o campo
ao longo da curva
definida por
de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da posição
em relação a
, ou seja,
. Isso nos dará o vetor tangente à curva.
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
no campo
para obter
.
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique o Teorema de Green para o campo
ao redor da região limitada pelo triângulo com vértices em
.
Calcule a circulação de
ao redor do triângulo com vértices em
, usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é dada pela integral de linha
.
Calcule a integral de linha
ao longo da curva
parametrizada por
, com
.
Encontre a integral
ao longo do caminho
que vai de
a
via o ponto
.