Determine a taxa de variação da temperatura no ponto em direção ao ponto

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do ponto . Isso significa que queremos saber como a temperatura muda nesse ponto específico quando nos movemos na direção indicada. Para resolver isso, vamos precisar usar calculo vetorial, especificamente o conceito de derivada direcional. Vamos precisar também entender como calcular vetores e normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção em que queremos calcular a taxa de variação. Para isso, vamos construir o vetor direção a partir do ponto até o ponto . O vetor direção é dado por:

Passo 3

Agora que temos o vetor direção , precisamos normalizá-lo para transformar em um vetor unitário . Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção com comprimento 1. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo. Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Para encontrar a taxa de variação da temperatura, precisamos conhecer o gradiente da função temperatura no ponto . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da temperatura e suas componentes são as derivadas parciais de em relação a , e :
Nota: Sem a expressão específica para , não podemos calcular numericamente o gradiente. Portanto, vamos manter as componentes do gradiente em termos gerais.

Passo 5

A derivada direcional da temperatura na direção de é calculada pelo produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário :
Esse resultado nos dá a taxa de variação da temperatura no ponto na direção especificada.

Resposta

A taxa de variação da temperatura no ponto na direção do ponto é dada por:

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.
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