Determine a taxa de variação da temperatura no ponto
em direção ao ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção do ponto
. Isso significa que queremos saber como a temperatura muda nesse ponto específico quando nos movemos na direção indicada. Para resolver isso, vamos precisar usar calculo vetorial, especificamente o conceito de derivada direcional. Vamos precisar também entender como calcular vetores e normalizá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção em que queremos calcular a taxa de variação. Para isso, vamos construir o vetor direção a partir do ponto
até o ponto
. O vetor direção
é dado por:
Passo 3
Agora que temos o vetor direção
, precisamos normalizá-lo para transformar em um vetor unitário
. Isso é importante porque a derivada direcional usa um vetor de direção com comprimento 1. A normalização é feita dividindo cada componente do vetor pelo seu módulo. Primeiro, calculamos o módulo de
:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 4
Para encontrar a taxa de variação da temperatura, precisamos conhecer o gradiente da função temperatura
no ponto
. O gradiente
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da temperatura e suas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Nota: Sem a expressão específica para
, não podemos calcular numericamente o gradiente. Portanto, vamos manter as componentes do gradiente em termos gerais.
Passo 5
A derivada direcional da temperatura na direção de
é calculada pelo produto escalar entre o gradiente
e o vetor unitário
:
Esse resultado nos dá a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção especificada.
Resposta
A taxa de variação da temperatura no ponto
na direção do ponto
é dada por:
Exercícios relacionados
Determine o valor da integral de linha
, onde
é o triângulo com vértices em
e
.
Use o resultado do Problema 28 para encontrar a transformada de Laplace da função dada.
30.
.
30.
Calcule a circulação de
ao redor do triângulo com vértices em
, usando o Teorema de Green. A circulação de um campo vetorial
ao redor de uma curva fechada
é dada pela integral de linha
.