Calcule e classifique os pontos extremos da função :

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular e classificar os pontos extremos dessa função. Ou seja, vamos encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos e dizer qual é cada um deles. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender um pouco sobre extrema em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos, onde a inclinação da função é zero em todas as direções.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos simplificar as equações dividindo por 3:
Da equação (1), podemos isolar :
Substituindo esse valor de na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, substituindo esses valores de para encontrar :
  • Se :
Então, o ponto é .
  • Se :
Então, o ponto é .

Passo 4

Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto:
  1. Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Para :
Aqui, e , então esse ponto é um mínimo relativo.

Resposta

A função possui dois pontos críticos:
  • : ponto de sela
  • : mínimo relativo

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