Calcule e classifique os pontos extremos da função
:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular e classificar os pontos extremos dessa função. Ou seja, vamos encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos e dizer qual é cada um deles. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender um pouco sobre extrema em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar os pontos críticos, onde a inclinação da função é zero em todas as direções.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos simplificar as equações dividindo por 3:
Da equação (1), podemos isolar
:
Substituindo esse valor de
na equação (2):
Multiplicando tudo por 4 para eliminar o denominador:
Isso nos dá duas soluções:
Agora, substituindo esses valores de
para encontrar
:
- Se
:
Então, o ponto é
.
- Se
:
Então, o ponto é
.
Passo 4
Agora que temos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto:
- Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Para
:
Aqui,
e
, então esse ponto é um mínimo relativo.
Resposta
A função
possui dois pontos críticos:
-
: ponto de sela -
: mínimo relativo
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e
calcule as derivadas parciais de
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Mostre que a função
é contínua em
considere
.