Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia: Sejam z=f(x, y)=x^2 y-x^2+y^2 ; x(r, θ)=r * cos(θ) e y(r, θ) = r * sen(θ) calcule as derivadas parciais de z em relação as variáveis r e theta

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais usando as regras da cadeia. O problema nos dá uma função onde e são expressos em coordenadas polares: e . Precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular e , usaremos a Regra da Cadeia em várias variáveis. A Regra da Cadeia nos permite encontrar derivadas de funções compostas, ou seja, quando uma variável depende de outra.

Passo 3

Vamos reescrever a função em termos de e . Substituindo e :

Passo 4

Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a derivada termo a termo:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais agrupando os termos com :

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aplicando a derivada termo a termo e usando as derivadas de funções trigonométricas:
Simplificando cada parte:

Resposta

As derivadas parciais de em relação a e são:

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