Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia:
e
calcule as derivadas parciais de
relação as variáveis
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais usando as regras da cadeia. O problema nos dá uma função
onde
e
são expressos em coordenadas polares:
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular
e
, usaremos a Regra da Cadeia em várias variáveis. A Regra da Cadeia nos permite encontrar derivadas de funções compostas, ou seja, quando uma variável depende de outra.
Passo 3
Vamos reescrever a função
em termos de
e
. Substituindo
e
:
Passo 4
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a derivada termo a termo:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais agrupando os termos com
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a derivada termo a termo e usando as derivadas de funções trigonométricas:
Simplificando cada parte:
Resposta
As derivadas parciais de
em relação a
e
são:
Exercícios relacionados
Calcular as derivadas parciais de
ordem usando a definição da função
.
Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia:
e
, calcule
Calcule as Derivada Parciais de segunda ordem das funções:
Calcule e classifique os pontos extremos da função
: