Mostre que a função é contínua em considere .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função é contínua no espaço . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem continuidade de funções e normas vetoriais. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular a norma de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, para todo , existe um tal que, sempre que , então . Basicamente, isso quer dizer que se a gente chega bem perto de , a imagem também fica bem perto de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na função . Queremos mostrar que para qualquer ponto em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 4

Começamos calculando a diferença :
Sabemos, pela desigualdade triangular inversa, que:
Isso nos mostra que a diferença das magnitudes é sempre menor ou igual à distância entre os vetores.

Passo 5

Agora, queremos que . Pela desigualdade acima, isso será garantido se:
Então, podemos escolher . Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Concluímos que a função é contínua em , já que para todo , existe um tal que implica .

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Calcule as derivadas parciais pelo método prático:
Calcule e classifique os pontos extremos da função :
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: ;
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;