Mostre que a função
é contínua em
considere
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função
é contínua no espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo que envolvem continuidade de funções e normas vetoriais. Vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular a norma de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
. Basicamente, isso quer dizer que se a gente chega bem perto de
, a imagem
também fica bem perto de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso na função
. Queremos mostrar que para qualquer ponto
em
, a função é contínua nesse ponto.
Passo 4
Começamos calculando a diferença
:
Sabemos, pela desigualdade triangular inversa, que:
Isso nos mostra que a diferença das magnitudes é sempre menor ou igual à distância entre os vetores.
Passo 5
Agora, queremos que
. Pela desigualdade acima, isso será garantido se:
Então, podemos escolher
. Assim, sempre que
, teremos:
Resposta
Concluímos que a função
é contínua em
, já que para todo
, existe um
tal que
implica
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais pelo método prático:
Calcule e classifique os pontos extremos da função
:
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: ;
© elipsoide:
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
(a) esfera;
(a) esfera;