Calcule as Derivada Parciais de segunda ordem das funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como fazer derivadas de funções que têm mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial em relação a uma variável é como se a gente derivasse normalmente, mas mantendo as outras variáveis constantes. Então, vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de em relação a .
A função é .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a .
Derivando a função em relação a :

Passo 4

Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Existem três possibilidades:
  1. Derivada segunda em relação a duas vezes:
  2. Derivada mista: derivar em relação a :
  3. Derivada segunda em relação a duas vezes:

Passo 5

Vamos calcular cada uma delas:
  1. Derivada segunda em relação a :
  1. Derivada mista (primeiro em , depois em ):
  1. Derivada segunda em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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