Calcule as Derivada Parciais de segunda ordem das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como fazer derivadas de funções que têm mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada parcial em relação a uma variável é como se a gente derivasse normalmente, mas mantendo as outras variáveis constantes. Então, vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de
em relação a
.
A função é
.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Derivando a função
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as primeiras derivadas parciais, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Existem três possibilidades:
- Derivada segunda em relação a
duas vezes: - Derivada mista: derivar
em relação a : - Derivada segunda em relação a
duas vezes:
Passo 5
Vamos calcular cada uma delas:
- Derivada segunda em relação a
:
- Derivada mista (primeiro em
, depois em ):
- Derivada segunda em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
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Calcule as derivadas utilizando as regras da cadeia:
e
calcule as derivadas parciais de
relação as variáveis
Calcular as derivadas parciais de
ordem usando a definição da função
.
Calcule e classifique os pontos extremos da função
:
Calcule as derivadas parciais pelo método prático: