Calcule as derivadas parciais pelo método prático:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais usando o método prático. O enunciado envolve uma função
que depende de várias variáveis:
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a função
que vamos derivar. A função está escrita assim:
Aqui,
é uma função vetorial com três componentes, cada uma delas multiplicada por
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Podemos reescrever
da seguinte forma:
Isso é só uma simplificação para deixar claro que cada componente do vetor
é uma expressão que envolve
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
. Como
é um vetor, vamos derivar cada componente individualmente.
Primeiro, vamos derivar em relação a
:
Passo 5
Vamos derivar a primeira componente em relação a
:
Aqui temos a regra do produto: derivar o primeiro fator multiplicado pelo segundo mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo. Porém, como
não depende de
, a derivada simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos derivar a segunda componente em relação a
:
Aplicando a regra do produto, temos:
Passo 7
Por fim, derivamos a terceira componente em relação a
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 8
Repetimos o mesmo processo para as derivadas parciais em relação a
e
. Cada componente será derivada individualmente usando as regras de derivação que aplicamos acima.
Resposta
As derivadas parciais da função
são vetores cujas componentes são:
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Calcule e classifique os pontos extremos da função
:
Calcule as Derivada Parciais de segunda ordem das funções:
Mostre que a função
é contínua em
considere
.
Descreva as parametrizações e calcule o vetor normal associado às seguintes superfícies:
© elipsoide: ;
© elipsoide: