Calcule as derivadas parciais pelo método prático:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais usando o método prático. O enunciado envolve uma função que depende de várias variáveis: , e . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a função que vamos derivar. A função está escrita assim:
Aqui, é uma função vetorial com três componentes, cada uma delas multiplicada por .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a derivação. Podemos reescrever da seguinte forma:
Isso é só uma simplificação para deixar claro que cada componente do vetor é uma expressão que envolve , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e . Como é um vetor, vamos derivar cada componente individualmente.
Primeiro, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Vamos derivar a primeira componente em relação a :
Aqui temos a regra do produto: derivar o primeiro fator multiplicado pelo segundo mais o primeiro fator multiplicado pela derivada do segundo. Porém, como não depende de , a derivada simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos derivar a segunda componente em relação a :
Aplicando a regra do produto, temos:

Passo 7

Por fim, derivamos a terceira componente em relação a :
Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 8

Repetimos o mesmo processo para as derivadas parciais em relação a e . Cada componente será derivada individualmente usando as regras de derivação que aplicamos acima.

Resposta

As derivadas parciais da função são vetores cujas componentes são:

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