Calcule os coeficientes a1, a2, a3, a4 da combinação linear
(cc 3 & 1 1 & -2 )=a1(cc -3 & 4 5 & 7 )+a2(cc 0 & -1 2 & -3 )+a3(cc 1 & -1 2 & 1 )+a4(cc -2 & 4 -2 & -4 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz que precisa ser escrita como uma combinação linear de outras quatro matrizes. Isso envolve encontrar os coeficientes , , e que fazem essa igualdade funcionar. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear, especificamente, sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que temos. A matriz dada é:
3 & 1 1 & -2
E ela deve ser igual à combinação das quatro matrizes com os coeficientes a1 -3 & 4 5 & 7 + a2 0 & -1 2 & -3 + a3 1 & -1 2 & 1 + a4 -2 & 4 -2 & -4 , , e :

Passo 3

Vamos igualar cada posição das matrizes para montar um sistema de equações. Isso significa que o elemento da posição (1,1) da matriz resultante deve ser igual ao da matriz dada, e assim por diante.
Então, temos:
  1. Posição (1,1):
3 = -3a1 + 0a2 + 1a3 - 2a4
  1. Posição (1,2):
1 = 4a1 - 1a2 - 1a3 + 4a4
  1. Posição (2,1):
1 = 5a1 + 2a2 + 2a3 - 2a4
  1. Posição (2,2):
-2 = 7a1 - 3a2 + 1a3 - 4a4

Passo 4

Agora, temos um sistema com quatro equações:
-3a1 + a3 - 2a4 = 3 4a1 - a2 - a3 + 4a4 = 1 5a1 + 2a2 + 2a3 - 2a4 = 1 7a1 - 3a2 + a3 - 4a4 = -2
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar simplificar uma das equações para isolar uma variável.

Passo 5

Observando a primeira equação:
-3a1 + a3 - 2a4 = 3
Podemos isolar a3 = 3 + 3a1 + 2a4 :
Vamos usar essa expressão para substituir nas outras equações.

Passo 6

Substituindo 4a1 - a2 - (3 + 3a1 + 2a4) + 4a4 = 1 na segunda equação:
4a1 - a2 - 3 - 3a1 - 2a4 + 4a4 = 1 (4a1 - 3a1) - a2 + ( -2a4 + 4a4) - 3 = 1 a1 - a2 + 2a4 = 4
Simplificando:
a1 - a2 + 2a4 = 4
Essa é a nossa nova segunda equação:

Passo 7

Agora, vamos substituir 5a1 + 2a2 + 2(3 + 3a1 + 2a4) - 2a4 = 1 na terceira equação:
5a1 + 2a2 + 6 + 6a1 + 4a4 - 2a4 = 1 (5a1 + 6a1) + 2a2 + (4a4 - 2a4) + 6 = 1 11a1 + 2a2 + 2a4 = -5
Simplificando:
11a1 + 2a2 + 2a4 = -5
Essa é a nossa nova terceira equação:

Passo 8

Agora, substituímos 7a1 - 3a2 + (3 + 3a1 + 2a4) - 4a4 = -2 na quarta equação:
7a1 - 3a2 + 3 + 3a1 + 2a4 - 4a4 = -2 (7a1 + 3a1) - 3a2 + (2a4 - 4a4) + 3 = -2 10a1 - 3a2 - 2a4 = -5
Simplificando:
10a1 - 3a2 - 2a4 = -5
Essa é a nossa nova quarta equação:

Passo 9

Agora, temos um sistema com três equações e três variáveis ( a1 - a2 + 2a4 = 4 (Equação 2) 11a1 + 2a2 + 2a4 = -5 (Equação 3) 10a1 - 3a2 - 2a4 = -5 (Equação 4) , , ):
çãçãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, usar a Equação 2 para isolar uma variável e substituir nas outras equações.

Passo 10

Isolando a1 - a2 + 2a4 = 4 Rightarrow -a2 = 4 - a1 - 2a4 Rightarrow a2 = a1 + 2a4 - 4 na Equação 2:
Agora, vamos substituir nas Equações 3 e 4.

Passo 11

Substituindo na Equação 3:
11a1 + 2(a1 + 2a4 - 4) + 2a4 = -5 11a1 + 2a1 + 4a4 - 8 + 2a4 = -5 (11a1 + 2a1) + (4a4 + 2a4) - 8 = -5 13a1 + 6a4 = 3 (Equação 5) çã

Passo 12

Substituindo na Equação 4:
10a1 - 3(a1 + 2a4 - 4) - 2a4 = -5 10a1 - 3a1 - 6a4 + 12 - 2a4 = -5 (10a1 - 3a1) + (-6a4 - 2a4) + 12 = -5 7a1 - 8a4 = -17 (Equação 6) çã

Passo 13

Agora, temos duas equações com duas variáveis:
13a1 + 6a4 = 3 (Equação 5) 7a1 - 8a4 = -17 (Equação 6) çãçã
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.

Passo 14

Multiplicamos a Equação 5 por 7 e a Equação 6 por 13 para igualar os coeficientes de 91a1 + 42a4 = 21 (Equação 5 (times) 7) 91a1 - 104a4 = -221 (Equação 6 (times) 13) :
(91a1 - 104a4) - (91a1 + 42a4) = -221 - 21 -146a4 = -242 a4 = -242-146 = 12173 çãçã
Agora, subtraímos a primeira nova equação da segunda para eliminar :

Passo 15

Com 13a1 + 6(12173) = 3 13a1 + 72673 = 3 13a1 = 3 - 72673 13a1 = 21973 - 72673 = -50773 a1 = -50773 times 13 = -507949 = -507949 , agora substituímos esse valor na Equação 5 para encontrar 507 div 13 = 39 949 div 13 = 73 a1 = -3973 :
Podemos simplificar dividindo por 13:

Passo 16

Agora, com a2 = a1 + 2a4 - 4 a2 = -3973 + 2(12173) - 4 a2 = -3973 + 24273 - 29273 (convertendo 4 para fração com denominador 73) a2 = -39 + 242 - 29273 a2 = -8973 a2 = -8973 e , vamos encontrar usando a expressão que tínhamos:
çã

Passo 17

Por fim, vamos encontrar a3 = 3 + 3a1 + 2a4 a3 = 3 + 3(-3973) + 2(12173) a3 = 3 - 11773 + 24273 a3 = 3 + 12573 a3 = 21973 + 12573 = 34473 a3 = 34473 = 34473 usando a expressão que tínhamos no Passo 5:
344 div 73 = 4 (porque (73 times 4 = 292)), sobra 52, então a3 = 4 + 5273
Podemos simplificar:
a3 = 34473 ã
Mas deixaremos em forma de fração:

Resposta

Os coeficientes são:
a1 = -3973, a2 = -8973, a3 = 34473, a4 = 12173

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