Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz que precisa ser escrita como uma combinação linear de outras quatro matrizes. Isso envolve encontrar os coeficientes , , e que fazem essa igualdade funcionar. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de álgebra linear, especificamente, sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que temos. A matriz dada é:
E ela deve ser igual à combinação das quatro matrizes com os coeficientes , , e :
Passo 3
Vamos igualar cada posição das matrizes para montar um sistema de equações. Isso significa que o elemento da posição (1,1) da matriz resultante deve ser igual ao da matriz dada, e assim por diante.
Então, temos:
Posição (1,1):
Posição (1,2):
Posição (2,1):
Posição (2,2):
Passo 4
Agora, temos um sistema com quatro equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar simplificar uma das equações para isolar uma variável.
Passo 5
Observando a primeira equação:
-3a1 + a3 - 2a4 = 3
Podemos isolar a3 = 3 + 3a1 + 2a4 :
Vamos usar essa expressão para substituir nas outras equações.
Passo 6
Substituindo 4a1 - a2 - (3 + 3a1 + 2a4) + 4a4 = 1 na segunda equação:
Podemos resolver esse sistema usando o método da substituição ou eliminação. Vamos usar a eliminação.
Passo 14
Multiplicamos a Equação 5 por 7 e a Equação 6 por 13 para igualar os coeficientes de 91a1 + 42a4 = 21 (Equação 5 (times) 7) 91a1 - 104a4 = -221 (Equação 6 (times) 13) :