É verdade que o sistema A x=b tem uma solução para qualquer b in R^3 ? Se sim, prove a afirmação, caso contrário encontre um contra-exemplo.
Passo 1
E aí! Temos uma matriz e queremos saber se para qualquer vetor em , o sistema tem solução. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente o de posto da matriz, para resolver isso. Precisamos verificar se a matriz tem posto 3, o que garantiria que as colunas de conseguem “preencher” todo o espaço .
Para encontrar o posto de , vamos simplificar a matriz usando operações elementares de linha até chegar a uma forma mais simples, como a forma escalonada.
Passo 3
Começamos pela primeira coluna. Já temos um 1 na primeira linha. Vamos usar esse 1 para zerar os elementos abaixo dele na mesma coluna. Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1
Isso resulta em:
1 & -2 & 1 & 2 0 & 5 & 4 & 2 0 & 0 & 1 & 2
Passo 4
Agora, focamos na segunda coluna. Na segunda linha, temos o elemento 5. Esse é nosso pivô para a segunda coluna. Vamos usar ele para zerar qualquer outro elemento na mesma coluna, mas como os elementos abaixo já estão zero, não precisamos fazer mais nada neste passo.
Passo 5
Na terceira linha, o terceiro elemento já está 1, que é perfeito para ser nosso pivô na terceira coluna. A matriz já está praticamente na forma escalonada, com um pivô em cada linha.
Passo 6
Como a matriz após as operações tem três pivôs (um na primeira, segunda e terceira linha), isso significa que o posto de é 3. Como o posto é igual ao número de linhas, as colunas de geram todo o espaço .
Resposta
Sim, o sistema tem uma solução para qualquer , porque a matriz possui posto 3, garantindo que suas colunas abrangem todo o espaço tridimensional.