Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
c) W=(x, y) in R^2 mid x-3 y=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto e precisamos verificar se ele é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para identificar subespaços vetoriais.

Passo 2

Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em 0 - 3 times 0 = 0 é 0 = 0 . Vamos substituir na equação :
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar fechamento sob adição:
Pegamos dois vetores quaisquer em x1 - 3y1 = 0 , digamos x2 - 3y2 = 0 e (x1 + x2, y1 + y2) , que satisfazem:
(x1 + x2) - 3(y1 + y2) = (x1 - 3y1) + (x2 - 3y2) = 0 + 0 = 0
Somando esses vetores:
Vamos verificar se este vetor também satisfaz a condição:
Então, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em (k x, k y) , kx - 3(k y) = k(x - 3y) = k times 0 = 0 , que satisfaz , e um escalar . Multiplicando o vetor por :
Vamos verificar se este novo vetor também está em :
Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições, podemos concluir que é um subespaço vetorial.

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