Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
c)
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
e precisamos verificar se ele é um subespaço vetorial. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para identificar subespaços vetoriais.
Passo 2
Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos substituir na equação
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar fechamento sob adição:
Pegamos dois vetores quaisquer em
, digamos
e
, que satisfazem:
Somando esses vetores:
Vamos verificar se este vetor também satisfaz a condição:
Então,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar fechamento sob multiplicação por escalar:
Pegamos um vetor qualquer em
,
, que satisfaz
, e um escalar
. Multiplicando o vetor por
:
Vamos verificar se este novo vetor também está em
:
Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições, podemos concluir que
é um subespaço vetorial.