Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial.
d) W=(x, y, z) in R^3 mid x=2 y=3 z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em x = 2y = 3z . O vetor zero em 0 = 2 cdot 0 = 3 cdot 0 implies 0 = 0 = 0 é . Vamos substituir na condição do conjunto:
Substituindo , e :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se x1 = 2y1 = 3z1 e x2 = 2y2 = 3z2 é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , a soma deles também estará em x1 + x2 = 2(y1 + y2) = 3(z1 + z2) .
Vamos pegar dois vetores x1 + x2 = 2y1 + 2y2 = 2(y1 + y2) e 2(y1 + y2) = 2(3z1 + 3z2) = 6(z1 + z2) em 6(z1 + z2) = 3(z1 + z2) times 2 , onde:
Somando os dois vetores:
Precisamos verificar se:
Como e :
E e :
Mas também temos e :
Isso mostra que a igualdade se mantém, então a soma está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se x = 2y = 3z é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor qualquer de ku = (kx, ky, kz) por um número real, o resultado também estará em kx = 2ky = 3kz .
Pegamos um vetor kx = k cdot 2y = 2(ky) e ky = k cdot 3z = 3(kz) em kx = 2ky = 3kz , onde:
E um escalar . Multiplicando o vetor por :
Verificamos se:
Como e , temos:
Portanto:
Isso confirma que também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço vetorial de .

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