Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar conferir três propriedades fundamentais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir na condição do conjunto:
Substituindo
,
e
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se tomarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também estará em
.
Vamos pegar dois vetores
e
em
, onde:
Somando os dois vetores:
Precisamos verificar se:
Como
e
:
E
e
:
Mas também temos
e
:
Isso mostra que a igualdade
se mantém, então a soma está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, se multiplicarmos um vetor qualquer de
por um número real, o resultado também estará em
.
Pegamos um vetor
em
, onde:
E um escalar
. Multiplicando o vetor por
:
Verificamos se:
Como
e
, temos:
Portanto:
Isso confirma que
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.