Calcule os cofatores de cada um dos termos da matriz abaixo e calcule sua adjunta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular os cofatores de cada termo da matriz dada e, depois, encontrar a adjunta dessa matriz. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Pra resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de menores e aplicar sinais corretos nos cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um cofator. O cofator de um elemento em uma matriz é dado pelo determinante do menor correspondente a esse elemento, multiplicado por (-1)^{i+j}, onde i e j são as posições da linha e coluna do elemento na matriz.

Passo 3

Vamos começar calculando o cofator de cada elemento da matriz :

Passo 4

Cofator de (linha 1, coluna 1):
Menor de é a matriz formada removendo a primeira linha e primeira coluna:
O determinante desse menor é .
Aplicando o sinal: .

Passo 5

Cofator de (linha 1, coluna 2):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 6

Cofator de (linha 1, coluna 3):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 7

Cofator de (linha 2, coluna 1):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 8

Cofator de (linha 2, coluna 2):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 9

Cofator de (linha 2, coluna 3):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 10

Cofator de (linha 3, coluna 1):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 11

Cofator de (linha 3, coluna 2):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 12

Cofator de (linha 3, coluna 3):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .

Passo 13

Agora que temos todos os cofatores, vamos montar a matriz de cofatores:

Passo 14

A adjunta da matriz é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos linhas por colunas:

Resposta

Os cofatores da matriz são:
E a adjunta de é:

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