Calcule os cofatores de cada um dos termos da matriz abaixo e calcule sua adjunta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular os cofatores de cada termo da matriz dada e, depois, encontrar a adjunta dessa matriz. Isso tudo faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Pra resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes de menores e aplicar sinais corretos nos cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um cofator. O cofator de um elemento em uma matriz é dado pelo determinante do menor correspondente a esse elemento, multiplicado por (-1)^{i+j}, onde i e j são as posições da linha e coluna do elemento na matriz.
Passo 3
Vamos começar calculando o cofator de cada elemento da matriz :
Passo 4
Cofator de (linha 1, coluna 1):
Menor de é a matriz formada removendo a primeira linha e primeira coluna:
O determinante desse menor é .
Aplicando o sinal: .
Passo 5
Cofator de (linha 1, coluna 2):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 6
Cofator de (linha 1, coluna 3):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 7
Cofator de (linha 2, coluna 1):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 8
Cofator de (linha 2, coluna 2):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 9
Cofator de (linha 2, coluna 3):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 10
Cofator de (linha 3, coluna 1):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 11
Cofator de (linha 3, coluna 2):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 12
Cofator de (linha 3, coluna 3):
Menor de :
Determinante: .
Aplicando o sinal: .
Passo 13
Agora que temos todos os cofatores, vamos montar a matriz de cofatores:
Passo 14
A adjunta da matriz é a transposta da matriz de cofatores. Ou seja, trocamos linhas por colunas: