Dado o conjunto
Mostre que é um sub-espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial. Estamos trabalhando com álgebra linear, mais precisamente com espaços vetoriais e seus subespaços. Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas: que ele contém o vetor zero, que é fechado sob adição e que é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. Em álgebra linear, o vetor zero é a matriz onde todos os elementos são zero. Então, precisamos ver se existe uma matriz em onde , e .
A matriz zero seria:
Como podem ser quaisquer números reais, podemos escolher , e . Portanto, a matriz zero está em .
Passo 3
Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer de e somarmos elas, o resultado também deve pertencer a .
Vamos supor que temos duas matrizes em :
Somando e :
Perceba que , e são números reais, já que estamos somando reais. Portanto, também está em , provando que é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer matriz de por um número real qualquer (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos pegar uma matriz qualquer de :
E multiplicar por um escalar :
Como , e são reais, a matriz resultante também pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial.