Dado o conjunto
Mostre que
é um sub-espaço vetorial.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial. Estamos trabalhando com álgebra linear, mais precisamente com espaços vetoriais e seus subespaços. Para provar que
é um subespaço, precisamos verificar três coisas: que ele contém o vetor zero, que é fechado sob adição e que é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. Em álgebra linear, o vetor zero é a matriz onde todos os elementos são zero. Então, precisamos ver se existe uma matriz em
onde
,
e
.
A matriz zero seria:
Como
podem ser quaisquer números reais, podemos escolher
,
e
. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer de
e somarmos elas, o resultado também deve pertencer a
.
Vamos supor que temos duas matrizes em
:
Somando
e
:
Perceba que
,
e
são números reais, já que estamos somando reais. Portanto,
também está em
, provando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer matriz de
por um número real qualquer (escalar), o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar uma matriz qualquer de
:
E multiplicar por um escalar
:
Como
,
e
são reais, a matriz resultante
também pertence a
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial.