Determine a forma geral de uma matriz A=[ai j]5 times 5 com a propriedade: ai j=0, para todos i, j tais que |i-j|>1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem , ou seja, com 5 linhas e 5 colunas. A propriedade dada é que sempre que a diferença absoluta entre os índices e for maior que 1, ou seja, . Isso significa que os elementos da matriz que estão mais do que uma posição acima ou abaixo da diagonal principal são zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de matriz tridiagonal e entender como posicionar os elementos não nulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz tridiagonal. Em uma matriz tridiagonal, os únicos elementos não nulos estão na diagonal principal, na diagonal acima da principal (chamada de diagonal superior) e na diagonal abaixo da principal (chamada de diagonal inferior). Todos os outros elementos são zero.

Passo 3

Vamos visualizar uma matriz A = a11 & a12 & 0 & 0 & 0 a21 & a22 & a23 & 0 & 0 0 & a32 & a33 & a34 & 0 0 & 0 & a43 & a44 & a45 0 & 0 & 0 & a54 & a55 para identificar onde ficam essas diagonais:
Aqui, sempre que , ou seja, fora das diagonais mencionadas.

Passo 4

Agora, vamos identificar quais posições na matriz são permitidas para termos não nulos:
  • Diagonal principal:
  • Diagonal superior:
  • Diagonal inferior:
Todos os outros elementos são zero.

Passo 5

Com isso, a forma geral da matriz A = a11 & a12 & 0 & 0 & 0 a21 & a22 & a23 & 0 & 0 0 & a32 & a33 & a34 & 0 0 & 0 & a43 & a44 & a45 0 & 0 & 0 & a54 & a55 que satisfaz a condição dada é:

Resposta

A forma geral da matriz A = a11 & a12 & 0 & 0 & 0 a21 & a22 & a23 & 0 & 0 0 & a32 & a33 & a34 & 0 0 & 0 & a43 & a44 & a45 0 & 0 & 0 & a54 & a55 é uma matriz tridiagonal onde:
Só os elementos na diagonal principal, na diagonal superior e na diagonal inferior podem ser diferentes de zero.

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