Determine a forma geral de uma matriz com a propriedade: , para todos tais que .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz de ordem , ou seja, com 5 linhas e 5 colunas. A propriedade dada é que sempre que a diferença absoluta entre os índices e for maior que 1, ou seja, . Isso significa que os elementos da matriz que estão mais do que uma posição acima ou abaixo da diagonal principal são zero. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de matriz tridiagonal e entender como posicionar os elementos não nulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz tridiagonal. Em uma matriz tridiagonal, os únicos elementos não nulos estão na diagonal principal, na diagonal acima da principal (chamada de diagonal superior) e na diagonal abaixo da principal (chamada de diagonal inferior). Todos os outros elementos são zero.
Passo 3
Vamos visualizar uma matriz para identificar onde ficam essas diagonais:
Aqui, sempre que , ou seja, fora das diagonais mencionadas.
Passo 4
Agora, vamos identificar quais posições na matriz são permitidas para termos não nulos:
Diagonal principal:
Diagonal superior:
Diagonal inferior:
Todos os outros elementos são zero.
Passo 5
Com isso, a forma geral da matriz que satisfaz a condição dada é:
Resposta
A forma geral da matriz é uma matriz tridiagonal onde:
Só os elementos na diagonal principal, na diagonal superior e na diagonal inferior podem ser diferentes de zero.