Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(b) $
com
.
$(b) $
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o comprimento do arco da curva dada pela função vetorial
no intervalo
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimentos de curvas paramétricas e precisaremos aplicar a fórmula do comprimento de arco.
Passo 2
A fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica
no intervalo
é:
Essa fórmula basicamente integra a velocidade ao longo do intervalo dado para encontrar o comprimento total da curva.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas das componentes de
. Para
:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
unidades.