Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(b) $ b com γ(t) = (2t - 1, t + 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o comprimento do arco da curva dada pela função vetorial no intervalo . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo de comprimentos de curvas paramétricas e precisaremos aplicar a fórmula do comprimento de arco.

Passo 2

A fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica no intervalo [a, b] é:
Essa fórmula basicamente integra a velocidade ao longo do intervalo dado para encontrar o comprimento total da curva.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas das componentes de gamma(t). Para :

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Como raiz(5) é uma constante, podemos simplificar a integral:

Resposta

O comprimento do arco da curva é unidades.

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