Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent com .

Passo 1

Vamos calcular o comprimento de arco da curva dada por no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para uma curva parametrizada por , o comprimento de arco entre e é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das componentes e da curva:

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 6

Portanto, a integral fica mais simples:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
Aplicando os limites de a :

Passo 8

Calculando nos limites:
Para :
Para , a expressão é .

Resposta

O comprimento de arco da curva é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante tem-se , use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de no volume da pilha.
Obs.: .
Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de . Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.: .
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: .