Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ a tcost, tsent γ(t)= ( com ).

Passo 1

Vamos calcular o comprimento de arco da curva dada por no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para uma curva parametrizada por , o comprimento de arco L entre e é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas das componentes x(t) e y(t) da curva:

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 6

Portanto, a integral fica mais simples:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 8

Calculando nos limites:
Para :
Para , a expressão é 0.

Resposta

O comprimento de arco da curva é:

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