Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $
tcost, tsent
com
.
$(a) $
Passo 1
Vamos calcular o comprimento de arco da curva dada por
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para uma curva parametrizada por
, o comprimento de arco
entre
e
é dado por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas das componentes
e
da curva:
Passo 4
Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 6
Portanto, a integral fica mais simples:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos a fórmula padrão:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para
:
Para
, a expressão é
.
Resposta
O comprimento de arco da curva é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura
é sempre igual ao raio
da base. Se em dado instante tem-se
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume
da pilha.
Obs.: .
Obs.:
Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo
o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de
. Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.: .
Obs.:
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.