Resolva os problemas de valores de contorno abaixo: y' - 3 t^2 y = t^2, y(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valores de contorno que nos foi dado: a equação diferencial é com a condição inicial . Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Esse reconhecimento é importante porque nos guia na escolha do próximo passo para resolver a equação.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ) que é essencial para simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :
Esse fator nos ajudará a transformar a equação original em uma forma que possa ser facilmente integrada.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :
Isso simplifica a nossa equação, facilitando a integração.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Então:

Passo 6

Agora, temos:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :
Esse é o geral da solução da equação diferencial.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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