Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valores de contorno que nos foi dado: a equação diferencial é
com a condição inicial
. Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial na forma padrão:
No nosso caso, temos:
Esse reconhecimento é importante porque nos guia na escolha do próximo passo para resolver a equação.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
) que é essencial para simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Esse fator nos ajudará a transformar a equação original em uma forma que possa ser facilmente integrada.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Isso simplifica a nossa equação, facilitando a integração.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a integral do lado direito, fazemos uma substituição:
Então:
Passo 6
Agora, temos:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Esse é o geral da solução da equação diferencial.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura
é sempre igual ao raio
da base. Se em dado instante tem-se
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume
da pilha.
Obs.: .
Obs.:
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent
com
.
$(a) $
Um tanque cheio de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto de 3 m de raio da base e 5 m de altura. No tempo
o petróleo começa a escoar por um orifício no fundo do tanque à razão de
. Com que velocidade o nível de petróleo desce? Quanto tempo levará para o tanque ficar vazio?
Obs.: .
Obs.: