Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante tem-se , use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de no volume da pilha.
Obs.: .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um material que está saindo de um recipiente e formando uma pilha em forma de cone. A altura desse cone, , sempre é igual ao raio da base, . No instante considerado, o raio é . Queremos usar diferenciais para encontrar a variação do raio, , que causa um aumento de no volume da pilha.
Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume de um cone, que é . Além disso, sabendo que , podemos simplificar a fórmula e aplicar os diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na fórmula do volume, já que :
Agora, temos o volume expresso apenas em função do raio .

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a derivada de em relação a para usar os diferenciais. A derivada de é:
Essa derivada nos mostra como o volume varia conforme o raio muda.

Passo 4

Agora, usamos a relação dos diferenciais para relacionar uma pequena variação no volume, , com uma variação no raio, :
Substituindo por , temos:

Passo 5

Queremos encontrar quando e . Substituindo esses valores na equação:

Passo 6

Resolvendo para :
Calculando numericamente:

Resposta

A variação do raio que origina um aumento de no volume da pilha é aproximadamente .

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$(a) $ tcost, tsent com .