Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura
é sempre igual ao raio
da base. Se em dado instante tem-se
, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de
no volume
da pilha.
Obs.:
.
Obs.:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um material que está saindo de um recipiente e formando uma pilha em forma de cone. A altura desse cone,
, sempre é igual ao raio da base,
. No instante considerado, o raio é
. Queremos usar diferenciais para encontrar a variação do raio,
, que causa um aumento de
no volume
da pilha.
Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume de um cone, que é
. Além disso, sabendo que
, podemos simplificar a fórmula e aplicar os diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na fórmula do volume, já que
:
Agora, temos o volume
expresso apenas em função do raio
.
Passo 3
Em seguida, vamos calcular a derivada de
em relação a
para usar os diferenciais. A derivada de
é:
Essa derivada nos mostra como o volume varia conforme o raio muda.
Passo 4
Agora, usamos a relação dos diferenciais para relacionar uma pequena variação no volume,
, com uma variação no raio,
:
Substituindo
por
, temos:
Passo 5
Queremos encontrar
quando
e
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 6
Resolvendo para
:
Calculando numericamente:
Resposta
A variação do raio que origina um aumento de
no volume da pilha é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Calcule, utilizando Série de Taylor, uma aproximação do seno de
com uma precisão de pelo menos 3 casas decimais.
Resolva os problemas de valores de contorno abaixo:
.
Calcule o comprimento de arco da curva dada.
$(a) $ tcost, tsent
com
.
$(a) $