Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura h é sempre igual ao raio r da base. Se em dado instante tem-se r = 16 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 50 cm^3 no volume V da pilha.
Obs.: V = (1/3) pi r^2 h.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um material que está saindo de um recipiente e formando uma pilha em forma de cone. A altura desse cone, h, sempre é igual ao raio da base, r. No instante considerado, o raio é . Queremos usar diferenciais para encontrar a variação do raio, , que causa um aumento de 50 cm^3 no volume V da pilha.
Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do volume de um cone, que é . Além disso, sabendo que , podemos simplificar a fórmula e aplicar os diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir h por r na fórmula do volume, já que :
Agora, temos o volume V expresso apenas em função do raio r.

Passo 3

Em seguida, vamos calcular a derivada de V em relação a r para usar os diferenciais. A derivada de é:
Essa derivada nos mostra como o volume varia conforme o raio muda.

Passo 4

Agora, usamos a relação dos diferenciais para relacionar uma pequena variação no volume, , com uma variação no raio, :
Substituindo por pi r^2, temos:

Passo 5

Queremos encontrar quando e . Substituindo esses valores na equação:

Passo 6

Resolvendo para :
Calculando numericamente:

Resposta

A variação do raio que origina um aumento de 50 cm^3 no volume da pilha é aproximadamente .

Exercícios relacionados