Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a) γ(t)= ( tcost, tsent ) com t in [0, 2 pi].
(b) γ(t) = (2t - 1, t + 1) com t em [1, 9].
© \gamma(t)=() cost, sent, e^(-t) com t in [0, pi].
(d) gamma(t) = e^(-t) cost, e^(-t) sent, e^(-t) com t in [0,1].
(e) gamma(t) = (t, ln(t)) com t in [0, e].

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento do arco das curvas que você mandou! Isso faz parte do tópico de Cálculo, especificamente de Cálculo Vetorial ou Geometria Analítica. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Vou te mostrar como aplicar isso passo a passo para cada parte do exercício.

Passo 2

Curva dada: com .
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento do arco de uma curva parametrizada , usamos a fórmula:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Observe que os termos e se cancelam, então:
]
Sabemos que , então:

Passo 6

Então, a integral fica mais simples:

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo que é uma forma padrão. A antiderivada de é:
Mas para calcular o valor exato, vamos usar a antiderivada:

Passo 8

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Então, o comprimento do arco é:

Passo 10

Curva dada: com .
Vamos usar a mesma fórmula do comprimento do arco.

Passo 11

Calculamos as derivadas:

Passo 12

Substituímos na fórmula:

Passo 13

Como é constante, a integral fica:

Passo 14

Curva dada: com .
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para curvas no espaço tridimensional.

Passo 15

A fórmula geral para o comprimento do arco no espaço é:
Vamos calcular as derivadas:

Passo 16

Substituindo na fórmula:

Passo 17

Sabemos que , então:

Passo 18

Essa integral pode não ter uma antiderivada elementar, então geralmente é resolvida numericamente. Porém, para expressar simbolicamente:

Passo 19

Curva dada: com .
Vamos novamente usar a fórmula do comprimento do arco no espaço.

Passo 20

Calculamos as derivadas:

Passo 21

Substituímos na fórmula:

Passo 22

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, fatoramos :
Expande os quadrados:

Passo 23

Somando:
Então, a integral fica:

Passo 24

Calculando a integral:

Passo 25

Curva dada: com .
Antes de mais nada, note que não está definida para . Então, assumirei que o intervalo é .
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções no plano.

Passo 26

Calculamos as derivadas:

Passo 27

Substituímos na fórmula:

Passo 28

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 29

Fazemos uma substituição para resolver a integral. Vamos usar , então:
Substituindo na integral:
Mas isso não simplifica bem, então vamos tentar outra abordagem.
Na verdade, uma melhor substituição é , mas para simplificar, podemos reconhecer que essa integral também pode ser expressa de forma simbólica ou resolvida numericamente.

Resposta

O comprimento do arco da curva para é dado pela integral:
Que pode ser simplificada para:
Essa integral geralmente é resolvida numericamente.

Conclusão

Calculamos os comprimentos dos arcos para todas as partes do exercício usando a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Algumas integrais resultantes podem ser resolvidas analiticamente, enquanto outras podem exigir métodos numéricos para obter uma resposta precisa.

Exercícios relacionados

Responda os itens a seguir:
(a) Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto 0,1 com velocidade constante dada pelo vetor 1,1.
(b) Qual a trajetória da partícula se, agora, a sua velocidade é dada pelo vetor (2, 2).
© As duas equações encontradas acima, representam o mesmo movimento? A função y = f(x) que representa a equação cartesiana da trajetória da partícula é igual nos dois casos acima?
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
d) lim n infty n(cos 1n-1)
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(o) integral 54 x+3 d x
(1,0 ponto) Existe o
lim (x, y) mapsto(0,0) x yx^2+y^2 ?