Calcule o comprimento de arco da curva dada.
(a)
tcost, tsent
com
.
(b)
com
.
©
cost, sent,
.
(d)
cost,
sent,
.
(e)
com
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento do arco das curvas que você mandou! Isso faz parte do tópico de Cálculo, especificamente de Cálculo Vetorial ou Geometria Analítica. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Vou te mostrar como aplicar isso passo a passo para cada parte do exercício.
Passo 2
Curva dada:
com
.
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento do arco de uma curva parametrizada
, usamos a fórmula:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Observe que os termos
e
se cancelam, então:
]
Sabemos que
, então:
Passo 6
Então, a integral fica mais simples:
Passo 7
Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica ou reconhecendo que é uma forma padrão. A antiderivada de
é:
Mas para calcular o valor exato, vamos usar a antiderivada:
Passo 8
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Então, o comprimento do arco é:
Passo 10
Curva dada:
com
.
Vamos usar a mesma fórmula do comprimento do arco.
Passo 11
Calculamos as derivadas:
Passo 12
Substituímos na fórmula:
Passo 13
Como
é constante, a integral fica:
Passo 14
Curva dada:
com
.
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para curvas no espaço tridimensional.
Passo 15
A fórmula geral para o comprimento do arco no espaço é:
Vamos calcular as derivadas:
Passo 16
Substituindo na fórmula:
Passo 17
Sabemos que
, então:
Passo 18
Essa integral pode não ter uma antiderivada elementar, então geralmente é resolvida numericamente. Porém, para expressar simbolicamente:
Passo 19
Curva dada:
com
.
Vamos novamente usar a fórmula do comprimento do arco no espaço.
Passo 20
Calculamos as derivadas:
Passo 21
Substituímos na fórmula:
Passo 22
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro, fatoramos
:
Expande os quadrados:
Passo 23
Somando:
Então, a integral fica:
Passo 24
Calculando a integral:
Passo 25
Curva dada:
com
.
Antes de mais nada, note que
não está definida para
. Então, assumirei que o intervalo é
.
Vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções no plano.
Passo 26
Calculamos as derivadas:
Passo 27
Substituímos na fórmula:
Passo 28
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 29
Fazemos uma substituição para resolver a integral. Vamos usar
, então:
Substituindo na integral:
Mas isso não simplifica bem, então vamos tentar outra abordagem.
Na verdade, uma melhor substituição é
, mas para simplificar, podemos reconhecer que essa integral também pode ser expressa de forma simbólica ou resolvida numericamente.
Resposta
O comprimento do arco da curva
para
é dado pela integral:
Que pode ser simplificada para:
Essa integral geralmente é resolvida numericamente.
Conclusão
Calculamos os comprimentos dos arcos para todas as partes do exercício usando a fórmula do comprimento de arco para curvas parametrizadas. Algumas integrais resultantes podem ser resolvidas analiticamente, enquanto outras podem exigir métodos numéricos para obter uma resposta precisa.
Exercícios relacionados
Responda os itens a seguir:
(a) Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto com velocidade constante dada pelo vetor
.
(b) Qual a trajetória da partícula se, agora, a sua velocidade é dada pelo vetor .
© As duas equações encontradas acima, representam o mesmo movimento? A função que representa a equação cartesiana da trajetória da partícula é igual nos dois casos acima?
(a) Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto
(b) Qual a trajetória da partícula se, agora, a sua velocidade é dada pelo vetor
© As duas equações encontradas acima, representam o mesmo movimento? A função
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico
, calcular os seguintes limites:
d)
d)
Calcule as integrais utilizando o método da substituição.
(o)
(o)
(1,0 ponto) Existe o