(1,0 ponto) Existe o
lim (x, y) mapsto(0,0) x yx^2+y^2 ?

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x cdot 0x^2 + 0^2 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo 0 cdot y0^2 + y^2 = 0 , onde :
Assim, ao longo do eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos verificar outro caminho, por exemplo, a reta x cdot xx^2 + x^2 = x^22x^2 = 12 . Substituindo por na função:
Neste caso, o limite é .

Passo 5

Observamos que ao aproximar-se de ao longo de diferentes caminhos, obtemos resultados diferentes para o limite. Pelo eixo e , o limite é 0, mas pela reta , o limite é .

Resposta

Como o limite depende do caminho de aproximação, ele não existe.

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