Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo aqui é calcular o comprimento de arco de uma curva que está parametrizada por uma função vetorial. A matéria que estamos usando é Cálculo, especificamente o tópico de comprimento de curva para funções vetoriais. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar componentes da função vetorial e integrar uma expressão que envolve essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que descreve a curva. A função dada é:
Aqui,
descreve a posição na curva para cada valor de
no intervalo de 0 a 1.
Passo 3
Para encontrar o comprimento de arco, usamos a fórmula:
Onde
e
são as componentes da função vetorial
, e
e
são os limites do intervalo de
.
Passo 4
Vamos agora encontrar as derivadas das componentes
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que ela se encaixa na forma de uma integral padrão que resulta em uma função hiperbólica ou usando tabelas de integrais.
Passo 7
Utilizando uma substituição trigonométrica, podemos definir
. Porém, para simplificar, vamos usar a fórmula padrão:
Aqui,
e
.
Passo 8
Aplicando os valores na fórmula:
Simplificando:
Passo 9
Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o comprimento de arco da curva parametrizada para
é:
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.
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.