Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t) = <t, t^2, t^3> em t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da curva definida por no ponto onde . Para isso, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas parametrizadas no espaço. Vamos precisar calcular as derivadas da função vetor, o produto vetorial dessas derivadas e as normas envolvidas na fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de em relação a , que é . Isso nos dá o vetor velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , que é . Isso nos dá o vetor aceleração da curva.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial de e , ou seja, . O produto vetorial nos ajuda a encontrar uma medida da “curvatura” da curva em termos vetoriais.
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma (magnitude) de e de .
Primeiro, a norma de :
Em seguida, a norma de :

Passo 6

Agora, usamos a fórmula da curvatura :
Vamos calcular isso em :
Primeiro, avaliando as normas em :
Então,

Resposta

A curvatura da cúbica retorcida em é .

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