Encontre a série de Maclaurin ou Taylor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função
em torno do ponto
. Isso significa que vamos expandir a função como uma série infinita centrada nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir a série de Taylor. A fórmula geral é:
No nosso caso,
, então a série ficará em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, temos:
Simplificando os fatores:
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas das funções vetoriais
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para
.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma
(1)
(1)