Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma
(1) sumn=1^infty(35^n+1n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries geométricas e a série harmônica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes: e .

Passo 3

A primeira parte, , é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se e a soma dela é .
No nosso caso, podemos reescrever a série como . Aqui, e . Como , a série geométrica converge.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da série geométrica:
sumn=1^infty 35^n = 351 - 15 = 3545 = 34

Passo 5

A segunda parte da série é , que é conhecida como a série harmônica. Infelizmente, a série harmônica é um exemplo clássico de uma série que diverge, ou seja, não tem uma soma finita.

Passo 6

Como a série original é a soma de uma série convergente ( ) e uma série divergente ( ), o comportamento dominante é o da série divergente. Portanto, a série inteira diverge.

Resposta

A série é divergente.

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© sumn=1^infty pi^n3^n+1