Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries geométricas e a série harmônica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes:
e
.
Passo 3
A primeira parte,
, é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. Sabemos que uma série geométrica converge se
e a soma dela é
.
No nosso caso, podemos reescrever a série como
. Aqui,
e
. Como
, a série geométrica converge.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma da série geométrica:
Passo 5
A segunda parte da série é
, que é conhecida como a série harmônica. Infelizmente, a série harmônica é um exemplo clássico de uma série que diverge, ou seja, não tem uma soma finita.
Passo 6
Como a série original é a soma de uma série convergente (
) e uma série divergente (
), o comportamento dominante é o da série divergente. Portanto, a série inteira diverge.
Resposta
A série
é divergente.
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