Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para t in [0, 1].
r(t) = (1 - t^2) * i + (t^2 + t^3) * j + (1 + t^2 - t^3) * k

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva parametrizada dada. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas no espaço. Para resolver isso, a gente vai precisar da fórmula do comprimento de arco e saber como derivar vetores.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função vetorial . Vamos derivar cada componente separadamente:
Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo da derivada , que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:

Passo 5

Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Fazendo uma substituição para facilitar a integral. Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
Integrando:
Então:

Resposta

O comprimento de arco da curva é .

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