Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o comprimento de arco da curva parametrizada dada. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o cálculo de comprimento de arco para curvas no espaço. Para resolver isso, a gente vai precisar da fórmula do comprimento de arco e saber como derivar vetores.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa encontrar a derivada da função vetorial
. Vamos derivar cada componente separadamente:
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular o módulo da derivada
, que é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 5
Agora, usamos a fórmula do comprimento de arco:
Fazendo uma substituição para facilitar a integral. Seja
, então
ou
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Integrando:
Então:
Resposta
O comprimento de arco da curva é
.