Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
f(x)=3/(1-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série. Basicamente, vamos reescrever essa fração como uma soma infinita de potências de e descobrir para quais valores de essa soma faz sentido (ou seja, converge).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série geométrica, que é uma das séries de potências mais básicas. A fórmula da série geométrica é:
Essa igualdade vale quando . Nosso objetivo é manipular a função para que ela se pareça com a forma da série geométrica.

Passo 3

Observe que pode ser reescrita como:
Aqui, percebemos que a parte se parece com a série geométrica , onde .

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica, temos:
Isso significa que:
Então, a representação em série de potências para é essa soma infinita.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, a série converge para todo tal que .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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