Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Basicamente, vamos reescrever essa fração como uma soma infinita de potências de
e descobrir para quais valores de
essa soma faz sentido (ou seja, converge).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série geométrica, que é uma das séries de potências mais básicas. A fórmula da série geométrica é:
Essa igualdade vale quando
. Nosso objetivo é manipular a função
para que ela se pareça com a forma da série geométrica.
Passo 3
Observe que
pode ser reescrita como:
Aqui, percebemos que a parte
se parece com a série geométrica
, onde
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da série geométrica, temos:
Isso significa que:
Então, a representação em série de potências para
é essa soma infinita.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, a série converge para todo
tal que
.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
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Dados
e
e
determinar:
d) .
d)
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.
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