A função de Heavisidade é definida como
H(t-a) = { 0 se 0 <= t < a, 1 se t >= a }
Usando a definição de Transformada de Laplace, calcule L{H(t-a)}

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre a função de Heaviside, que basicamente é uma função que vale 0 quando e 1 quando . A gente vai usar o conteúdo de Transformada de Laplace pra calcular a transformada dessa função, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo para uma função de (que é uma variável complexa) usando a seguinte fórmula:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula na nossa função de Heaviside :

Passo 4

A função de Heaviside é 0 quando e 1 quando . Então, na prática, a gente só precisa calcular a integral a partir de até o infinito:

Passo 5

Vamos resolver essa integral:

Resposta

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r(t) = (1 - t^2) * i + (t^2 + t^3) * j + (1 + t^2 - t^3) * k
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
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Calcule o limite de r quando t -> 0, ou mostre que o limite não existe.
Uma capitalização de juros é denominada Contínua quando é feita em intervalos de tempo bem pequenos, isto é, a medida que o tempot varia dentro de um intervalo considerado para a aplicação, os juros são capitalizados. Quando os juros são capitalizados continuamente, a taxa de crescimento é proporcional ao capital C investido, ou seja,
C'(t) = i C(t)
onde i é a taxa de juros e C é o capital investido. Supondo que C(0) = c0 é o capital inicial aplicado, use a Transformada de Laplace para determine o capital C(t) após um periodo de tempo t de capitalização.