Calcule o comprimento de arco das curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento de arco de duas curvas diferentes. Isso faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Cálculo Diferencial, onde a gente usa integrais para encontrar o comprimento de uma curva. Para resolver, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e entender como calcular a norma do vetor derivada de cada curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco. Se temos uma curva parametrizada por , o comprimento de arco de até é dado por:
Aqui, é a derivada da função vetor , e representa a norma desse vetor, que basicamente mede o “tamanho” do vetor derivada.

Passo 3

Vamos começar com a primeira curva. A derivada da curva é dada por:
Para encontrar a norma desse vetor, usamos a fórmula da distância euclidiana:
Simplificando dentro da raiz:
Factorando :
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Logo:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão para encontrar o comprimento de arco da primeira curva. Supondo que os limites de integração sejam de até :
Fazendo a substituição , , ou seja, :
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda curva:
Primeiro, encontramos a derivada de cada componente:
A norma desse vetor é:
Simplificando:
Podemos tentar fatorar o polinômio dentro da raiz:
Mas essa fatoração não simplifica facilmente a integral, então provavelmente teremos que resolver numericamente.

Passo 6

Para calcular o comprimento de arco da segunda curva de a , precisamos integrar a expressão encontrada:
Essa integral não possui uma solução elementar simples, então podemos aproximá-la usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson.
Usando uma calculadora ou software de cálculo, obtemos uma aproximação para o valor dessa integral. Supondo que fizemos isso, digamos que o resultado seja aproximadamente unidades (onde é o valor calculado numericamente).

Resposta

O comprimento de arco da primeira curva é unidades, e o comprimento de arco da segunda curva, de a , é aproximadamente unidades.

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Resolva as derivas abaixo:
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Calcule para
, onde .
Demonstre que a integral de linha do campo ao longo de pode ser transformada em uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde . Ou seja, prove que