Demonstre que a integral de linha do campo ao longo de pode ser transformada em uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde . Ou seja, prove que

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva pode ser reescrita como uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde é o vetor unitário tangente à curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Suponha que seja parametrizada por um parâmetro no intervalo , de forma que . A derivada dessa parametrização em relação a nos dá o vetor tangente à curva:

Passo 3

O vetor unitário tangente é obtido normalizando o vetor tangente:
Aqui, representa a norma do vetor tangente, que é a velocidade com que percorremos a curva.

Passo 4

Agora, vamos escrever a diferencial de posição em termos de :

Passo 5

A integral de linha do campo ao longo de é dada por:

Passo 6

Vamos agora expressar usando o vetor unitário tangente :

Passo 7

Substituindo essa expressão na integral de linha, temos:
Observamos que é o diferencial de comprimento de arco , então:

Resposta

Portanto, provamos que:

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Calcule para
, onde .
Calcule o comprimento de arco das curvas abaixo:

Calcule para
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e a .
Calcule:
, sendo a intersecção das superfícies , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.