Demonstre que a integral de linha do campo ao longo de pode ser transformada em uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde . Ou seja, prove que
integralgamma F cdot d r=integralgamma(F cdot v) d l
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) ao longo de uma curva gamma pode ser reescrita como uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar f(x, y, z) = F cdot v, onde v é o vetor unitário tangente à curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma. Suponha que gamma seja parametrizada por um parâmetro t no intervalo [a, b], de forma que gamma(t) = (x(t), y(t), z(t)). A derivada dessa parametrização em relação a t nos dá o vetor tangente à curva:
gamma'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt )
Passo 3
O vetor unitário tangente v é obtido normalizando o vetor tangente:
v = gamma'(t)|gamma'(t)|
Aqui, |gamma'(t)| representa a norma do vetor tangente, que é a velocidade com que percorremos a curva.
Passo 4
Agora, vamos escrever a diferencial de posição dr em termos de t:
dr = gamma'(t) , dt
Passo 5
A integral de linha do campo F ao longo de gamma é dada por:
integralgamma F cdot dr = integrala^b F(gamma(t)) cdot gamma'(t) , dt
Passo 6
Vamos agora expressar F cdot gamma'(t) usando o vetor unitário tangente v:
F cdot gamma'(t) = F cdot ( |gamma'(t)| , v ) = |gamma'(t)| (F cdot v)
Passo 7
Substituindo essa expressão na integral de linha, temos:
integrala^b |gamma'(t)| (F cdot v) , dt
Observamos que |gamma'(t)| , dt é o diferencial de comprimento de arco dl, então:
integralgamma F cdot dr = integrala^b (F cdot v) , dl
Resposta
Portanto, provamos que:
integralgamma F cdot dr = integralgamma (F cdot v) , dl