Demonstre que a integral de linha do campo ao longo de pode ser transformada em uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde . Ou seja, prove que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos provar que a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva pode ser reescrita como uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde é o vetor unitário tangente à curva. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Suponha que seja parametrizada por um parâmetro no intervalo , de forma que . A derivada dessa parametrização em relação a nos dá o vetor tangente à curva:
Passo 3
O vetor unitário tangente é obtido normalizando o vetor tangente:
Aqui, representa a norma do vetor tangente, que é a velocidade com que percorremos a curva.
Passo 4
Agora, vamos escrever a diferencial de posição em termos de :
Passo 5
A integral de linha do campo ao longo de é dada por:
Passo 6
Vamos agora expressar usando o vetor unitário tangente :
Passo 7
Substituindo essa expressão na integral de linha, temos:
Observamos que é o diferencial de comprimento de arco , então: