Calcule para
, onde .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva para entre 0 e 1. Vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva . Já temos . Isso significa que as componentes são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Calculando cada componente:
Então,

Passo 4

Vamos substituir , e na função :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de 0 a 1 dessa expressão:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Calculando as integrais:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de arco das curvas abaixo:

Resolva as derivas abaixo:
Demonstre que a integral de linha do campo ao longo de pode ser transformada em uma integral em relação ao comprimento de arco da função escalar , onde . Ou seja, prove que
Calcule para
, onde é a reunião dos segmentos de reta que unem a e a .