Calcule integralgamma F cdot d r para
F(x, y, z)=x y i-y j+k, onde gamma(t)=(t, t^2, t^3), t in[0,1].

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = x y i - y j + k e a curva gamma(t) = (t, t^2, t^3) para t entre 0 e 1. Vamos usar a definição de integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva gamma(t). Já temos gamma(t) = (t, t^2, t^3). Isso significa que as componentes são:
x(t) = t, y(t) = t^2, z(t) = t^3

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de gamma(t) em relação a t, que é gamma'(t). Calculando cada componente:
dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 3t^2
Então,
gamma'(t) = (1, 2t, 3t^2)

Passo 4

Vamos substituir x(t), y(t) e z(t) na função F:
F(gamma(t)) = x(t) y(t) i - y(t) j + k = t cdot t^2 i - t^2 j + k = t^3 i - t^2 j + k

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(gamma(t)) cdot gamma'(t):
F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = t^3 cdot 1 + (-t^2) cdot 2t + 1 cdot 3t^2 = t^3 - 2t^3 + 3t^2
Simplificando:
F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = -t^3 + 3t^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de 0 a 1 dessa expressão:
integral0^1 (-t^3 + 3t^2) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 -t^3 , dt + integral0^1 3t^2 , dt = -[t^44]0^1 + 3[t^33]0^1

Passo 7

Calculando as integrais:
-(1^44 - 0^44) + 3(1^33 - 0^33) = -(14 - 0) + 3(13 - 0) = -14 + 1 = 34

Resposta

A integral de linha é dfrac34.

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