Calcule o comprimento de arco das curvas dadas na forma paramétrica:
x = 3t + 2, y = t - 1; 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o comprimento de arco de uma curva que está definida de forma paramétrica. O enunciado nos dá as equações e para variando de 0 a 2. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos e , o comprimento de arco de até é dado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas e . Dada :
E para :

Passo 4

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Como é uma constante, podemos simplificar a integral:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

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