Nos Problemas 1-40, encontre a soluçào geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida. y' + 2xy = x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo . O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos identificar os componentes da equação diferencial. A equação está na forma padrão , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante é dado por . Então, vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso transforma a equação na forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para . Para o lado direito, fazemos a substituição , então , e reescrevemos a integral:

Passo 6

Igualando as integrais, temos:
Dividindo ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Definida para todo real.

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