Nos Problemas 1-40, encontre a soluçào geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo envolvido aqui é a resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos identificar os componentes da equação diferencial. A equação está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante
é dado por
. Então, vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação na forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para o lado direito, fazemos a substituição
, então
, e reescrevemos a integral:
Passo 6
Igualando as integrais, temos:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Definida para todo
real.
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.
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.
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