Use o Teste da Razão para determinar quais das séries nos exercícios 21-28 convergem e quais divergem. sumn=1^infty n^2 e^-n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Razão para descobrir se a série converge ou diverge. O Teste da Razão é uma ferramenta matemática que nos ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas, especialmente aquelas que têm termos com exponenciais ou fatorias complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Teste da Razão. A gente calcula o limite da razão entre o termo geral da série no próximo passo e o termo geral atual, ou seja:
L = limn to infty | an+1an |
Se an = n^2 e^-n , a série converge. Se an+1 = (n+1)^2 e^-(n+1) , a série diverge. E se L = limn to infty | (n+1)^2 e^-(n+1)n^2 e^-n | , o teste não nos dá uma conclusão.
Agora, vamos identificar L = limn to infty | (n+1)^2n^2 cdot e^-n-1e^-n | = limn to infty ( (n+1)^2n^2 cdot e^-1 ) na nossa série:
(n+1)^2n^2 = (1 + 1n)^2 approx 1 + 2n + 1n^2
Então, L = e^-1 cdot limn to infty (1 + 2n + 1n^2) = e^-1 cdot 1 = 1e será:
Agora, substituímos esses na fórmula do limite:
Simplificando:
Vamos simplificar ainda mais:
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora que encontramos 1e approx 0,3679 < 1 , vamos comparar com 1:
Então, de acordo com o Teste da Razão, se , a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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