Calcule o comprimento de arco de função dado
b)
para
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comprimento de arco da função
no intervalo de
entre 2 e 6. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente no tópico de Comprimento de Arco de uma Função. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e derivadas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função muda em cada ponto, e é essencial para calcular o comprimento do arco.
A função é:
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento de arco, que é:
Substituindo
na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
No entanto, essa integral não possui uma antiderivada elementar simples. Portanto, podemos resolver numericamente ou usar métodos de aproximação.
Utilizando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, ou uma calculadora científica/computacional, podemos estimar o valor da integral.
Após realizar os cálculos numéricos, encontramos que o comprimento de arco
entre
e
é aproximadamente:
Resposta
O comprimento de arco da função
no intervalo de
de 2 a 6 é aproximadamente 8,16 unidades.
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g)
g)
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d)
d)
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante
c)
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
f) A área da região delimitada pela curva , o eixo ox e as retas
e
f) A área da região delimitada pela curva