Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas e no primeiro quadrante. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais definidas para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região. A curva é uma parábola que se abre para baixo com vértice no ponto (0,4). Já a curva também é uma parábola que se abre para baixo, mas está deslocada para o lado devido ao termo .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas no primeiro quadrante. Para isso, igualamos as equações:
Simplificando:
Substituindo em uma das equações para achar :
Então, as curvas se interceptam no ponto (1,3) no primeiro quadrante.

Passo 4

Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a região de interesse está entre e no eixo . Para calcular a área entre as curvas, usamos a integral definida da função superior menos a função inferior nesse intervalo.

Passo 5

Identificamos qual curva está por cima no intervalo . Observando as equações:
á
Então, a área é dada por:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas no primeiro quadrante é 2 unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de arco de função dado
b) para
Calcule as integrais definidas ou impróprias
g)
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
f) A área da região delimitada pela curva , o eixo ox e as retas e
Calcule os limites
e)