Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas e no primeiro quadrante. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais definidas para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas para visualizar melhor a região. A curva é uma parábola que se abre para baixo com vértice no ponto (0,4). Já a curva também é uma parábola que se abre para baixo, mas está deslocada para o lado devido ao termo .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas no primeiro quadrante. Para isso, igualamos as equações:
Simplificando:
Substituindo em uma das equações para achar :
Então, as curvas se interceptam no ponto (1,3) no primeiro quadrante.
Passo 4
Com os pontos de interseção encontrados, sabemos que a região de interesse está entre e no eixo . Para calcular a área entre as curvas, usamos a integral definida da função superior menos a função inferior nesse intervalo.
Passo 5
Identificamos qual curva está por cima no intervalo . Observando as equações:
Então, a área é dada por:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas no primeiro quadrante é 2 unidades quadradas.