Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
f) A área da região delimitada pela curva
, o eixo ox e as retas
e
f) A área da região delimitada pela curva
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva
, pelo eixo
(que é o eixo das abscissas) e pelas retas verticais
e
. Para resolver isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região para visualizar melhor. A curva
é uma função que cresce de forma suave, passando pelo ponto
e se aproximando horizontalmente de
quando
vai para
e de
quando
vai para
. No intervalo de
a
, a curva está simétrica em relação à origem.
Passo 3
A área que queremos calcular está abaixo da curva
e acima do eixo
, entre
e
. Para encontrar essa área, vamos integrar a função
em relação a
de
a
.
Passo 4
A integral que representa a área é:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 6
Calculando
:
A derivada de
é
, então:
Calculando
:
Como
, então:
Passo 7
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 8
Vamos simplificar a integral que ficou:
Fazendo a substituição
, então
ou
. Assim, a integral fica:
Passo 9
Voltando à integração por partes, temos:
Passo 10
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
a
:
Passo 11
Calculando para
:
Sabemos que
. Então:
Calculando para
:
Como
, temos:
Passo 12
Agora, vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
Na verdade, como a função
é ímpar (ou seja,
), a área de
a
é o dobro da área de
a
. Assim, o cálculo final fica:
Resposta
A área da região é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante
c)
Calcule o comprimento de arco de função dado
b) para
b)
Calcule os limites
e)
e)
Calcule as integrais indefinidas
k)
k)