Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
f) A área da região delimitada pela curva , o eixo ox e as retas e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da região delimitada pela curva , pelo eixo (que é o eixo das abscissas) e pelas retas verticais e . Para resolver isso, vamos usar integrais definidas, que são ferramentas matemáticas que nos ajudam a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região para visualizar melhor. A curva é uma função que cresce de forma suave, passando pelo ponto e se aproximando horizontalmente de quando vai para e de quando vai para . No intervalo de a , a curva está simétrica em relação à origem.

Passo 3

A área que queremos calcular está abaixo da curva e acima do eixo , entre e . Para encontrar essa área, vamos integrar a função em relação a de a .

Passo 4

A integral que representa a área é:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 6

Calculando :
A derivada de é , então:
Calculando :
Como , então:

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 8

Vamos simplificar a integral que ficou:
Fazendo a substituição , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 9

Voltando à integração por partes, temos:

Passo 10

Agora, vamos aplicar os limites de integração de a :

Passo 11

Calculando para :
Sabemos que . Então:
Calculando para :
Como , temos:

Passo 12

Agora, vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
Na verdade, como a função é ímpar (ou seja, ), a área de a é o dobro da área de a . Assim, o cálculo final fica:

Resposta

A área da região é .

Exercícios relacionados

Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
c) no 1 o quadrante
Calcule o comprimento de arco de função dado
b) para
Calcule os limites
e)
Calcule as integrais indefinidas
k)