Calcule as integrais definidas ou impróprias
d) integral-infty^+infty x e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida ou imprópria que você enviou:
integral-infty^+infty x e^-x^2 , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, mais especificamente integrais impróprias porque os limites de integração vão até o infinito. Para resolver isso, precisamos entender algumas propriedades das funções e como elas se comportam quando integradas sobre intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que estamos integrando: f(-x) = (-x) e^-(-x)^2 = -x e^-x^2 = -f(x).
Uma dica importante aqui é identificar se a função é ímpar ou par:
  • Função par:
  • Função ímpar:
Vamos verificar:
Então, é uma função ímpar.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade chave das funções ímpares em integrais simétricas:
Propriedade: A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é igual a zero.
Ou seja:
integral-a^a f(x) , dx = 0
se for ímpar.

Passo 4

No nosso caso, os limites da integral são de a , que também é um intervalo simétrico em torno de zero. Como já identificamos que é uma função ímpar, podemos aplicar a propriedade mencionada.

Passo 5

Aplicando a propriedade:
integral-infty^+infty x e^-x^2 , dx = 0
Isso porque as áreas positivas e negativas se cancelam exatamente devido à simetria da função ímpar.

Resposta

A integral vale 0.

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