Calcule as integrais definidas ou impróprias
g) integral2^+infty 1x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que calcular a integral imprópria . Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais impróprias por causa do limite infinito. Pra resolver, vamos usar uma técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição pra simplificar a integral. Seja dt = 1x , dx . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que .

Passo 3

Substituindo na integral original, ficamos com:
integral 1x ln(x) , dx = integral 1t , dt
Agora, a integral ficou mais simples: a integral de em relação a .

Passo 4

A integral de integral 1t , dt = ln|t| + C é o logaritmo natural de ln(ln(x)) + C , então:
Substituindo de volta , temos:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 2 até integral2^+infty 1x ln(x) , dx = limb to +infty [ ln(ln(b)) - ln(ln(2)) ] :

Passo 6

Vamos analisar o limite:
  • Conforme limb to +infty ln(ln(b)) = +infty vai para , também vai para .
  • Então, também tende a .
Portanto:

Resposta

A integral diverge para .

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