Calcule o comprimento de arco de função dado
c) para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da função no intervalo de de 1 a 2. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre como encontrar o comprimento de uma curva usando integração. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e :
Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de .
Passo 3
Vamos derivar . Para isso, usamos a regra da derivada do logaritmo, que diz que . Aqui, .
Passo 4
Calculando :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Agora, substituímos na derivada de :
Podemos simplificar isso para:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Passo 7
Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Perceba que , então:
Passo 8
Para resolver a integral , podemos fazer uma substituição:
Rearranjando a fração:
Então, a integral fica:
Passo 9
Calculando os valores nos limites:
Resposta
O comprimento de arco da função no intervalo de de 1 a 2 é: