Calcule o comprimento de arco de função dado
c) f(x) = Ln((e^x + 1) / (e^x - 1)) para x pertence a [1,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento de arco da função no intervalo de de 1 a 2. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre como encontrar o comprimento de uma curva usando integração. Vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e calcular a derivada da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma função entre e :
Então, nosso primeiro passo é encontrar a derivada de .

Passo 3

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra da derivada do logaritmo, que diz que . Aqui, .

Passo 4

Calculando :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Agora, substituímos na derivada de :
Podemos simplificar isso para:

Passo 6

Agora, vamos calcular :

Passo 7

Substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Perceba que , então:

Passo 8

Para resolver a integral , podemos fazer uma substituição:
Rearranjando a fração:
Então, a integral fica:

Passo 9

Calculando os valores nos limites:

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo de de 1 a 2 é:

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