Calcule as integrais definidas ou impróprias
e) integral-infty^3 1(5-x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral . Estamos lidando com cálculo de integrais, mais especificamente com integrais impróprias porque temos um limite infinito. Vamos precisar entender como trabalhar com esses limites e aplicar técnicas de antiderivação.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que o limite inferior da integral é . Isso indica que estamos lidando com uma integral imprópria, pois estamos integrando de um ponto infinito até 3. Para resolver isso, vamos transformar a integral imprópria em um limite.

Passo 3

Vamos reescrever a integral como um limite quando integral-infty^3 1(5-x)^2 dx = lima to -infty integrala^3 1(5-x)^2 dx tende a :
Isso nos ajuda a trabalhar com valores finitos antes de considerar o comportamento no infinito.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral 1u^2 (-du) = -integral u^-2 du = -( -1u ) + C = 1u + C = 15 - x + C . Para isso, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então ou . Substituindo na integral:
Então, a antiderivada de é .

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração usando a antiderivada que encontramos. Substituindo na expressão original:
lima to -infty [ 15 - x ]a^3 = lima to -infty ( 15 - 3 - 15 - a ) = lima to -infty ( 12 - 15 - a )
Simplificando:
12 - lima to -infty 15 - a
Como tende a , tende a , então tende a 0.

Passo 6

Portanto, temos:
12 - 0 = 12
Então, a integral converge para .

Resposta

12

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