Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas
e
. Além disso, precisamos usar uma integral definida para descrever e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e como configuramos a integral para encontrar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. Temos duas funções:
Queremos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam para definir os limites da nossa integral.
Passo 3
Vamos igualar as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso não é possível! Isso significa que as duas curvas nunca se intersectam. Porém, precisamos verificar o comportamento dessas funções para entender melhor a região delimitada.
Passo 4
Vamos analisar as funções:
-
é uma linha horizontal constante. -
pode ser simplificada para entender seu comportamento.
Vamos reescrever a segunda função:
Assim, temos:
Isso nos mostra que
está sempre abaixo de 1, já que estamos subtraindo um valor positivo.
Passo 5
Como as curvas não se intersectam e
está sempre abaixo de
, a região delimitada é infinita na horizontal. Para calcular a área, vamos considerar a simetria das funções e definir limites razoáveis para
.
No entanto, para simplificar, vamos calcular a área onde a diferença entre as duas funções é significativa. Observando a função
, percebemos que ela tende a zero conforme
tende ao infinito, então a maior contribuição para a área vem perto de
.
Passo 6
Vamos calcular a integral definida da diferença entre as funções de
a
:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Como a função
é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos calcular a integral de
a
e multiplicar por
:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula:
Aqui,
.
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Portanto:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas.
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Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
b) e
e as retas
e
b)
Calcule o comprimento de arco de função dado
c) para
c)
Determine
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
Calcule os limites
c)
c)