Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas e . Além disso, precisamos usar uma integral definida para descrever e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e como configuramos a integral para encontrar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. Temos duas funções:
Queremos encontrar os pontos onde essas duas curvas se interceptam para definir os limites da nossa integral.

Passo 3

Vamos igualar as duas funções para encontrar os pontos de interseção:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso não é possível! Isso significa que as duas curvas nunca se intersectam. Porém, precisamos verificar o comportamento dessas funções para entender melhor a região delimitada.

Passo 4

Vamos analisar as funções:
  1. é uma linha horizontal constante.
  2. pode ser simplificada para entender seu comportamento.
Vamos reescrever a segunda função:
Assim, temos:
Isso nos mostra que está sempre abaixo de 1, já que estamos subtraindo um valor positivo.

Passo 5

Como as curvas não se intersectam e está sempre abaixo de , a região delimitada é infinita na horizontal. Para calcular a área, vamos considerar a simetria das funções e definir limites razoáveis para .
No entanto, para simplificar, vamos calcular a área onde a diferença entre as duas funções é significativa. Observando a função , percebemos que ela tende a zero conforme tende ao infinito, então a maior contribuição para a área vem perto de .

Passo 6

Vamos calcular a integral definida da diferença entre as funções de a :
Á
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos calcular a integral de a e multiplicar por :
Á
Para resolver essa integral, usamos a fórmula:
Aqui, .

Passo 8

Aplicando a fórmula:
Portanto:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas.

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Esboce a região, use integral definida para descrever a área da região delimitada pelas curvas e, calcule a respectiva área.
b) e e as retas e
Calcule o comprimento de arco de função dado
c) para
Determine
d) O volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo oy, da região hachurada do item ©
Calcule os limites
c)