Calcule o comprimento de arco da função durante o intervalo . (Sugestão: 1: observe que . 2: utilize integração por partes para calcular sabendo que e também que
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comprimento de arco da função no intervalo de . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo de comprimentos de curvas, que faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e algumas técnicas de integração, como substituição trigonométrica e integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma função entre os pontos e :
No nosso caso, , então vamos calcular a derivada de em relação a :
Passo 3
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Esse integral não é direto, então vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar. A sugestão do enunciado menciona observar que . Vamos adaptar isso para o nosso caso.
Passo 4
Vamos fazer a substituição , ou seja:
Dessa forma, a derivada de em relação a é:
Agora, vamos substituir na integral:
Passo 5
Sabemos que . Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para :
Agora, precisamos resolver o integral , e para isso vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 6
A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Lembre que . Então:
Substituindo de volta:
Agora, somamos dos dois lados:
Portanto:
Passo 8
Sabemos que . Substituindo:
Voltando à nossa integral original:
Passo 9
Agora, precisamos voltar para a variável . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Substituindo de volta:
Passo 10
Finalmente, avaliamos nos limites de a :
Para :
Para :
Subtraindo:
Resposta
O comprimento de arco da função no intervalo de é dado por: