Calcule o comprimento de arco da função durante o intervalo . (Sugestão: 1: observe que . 2: utilize integração por partes para calcular sabendo que e também que

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comprimento de arco da função no intervalo de . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo de comprimentos de curvas, que faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e algumas técnicas de integração, como substituição trigonométrica e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma função entre os pontos e :
No nosso caso, , então vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Esse integral não é direto, então vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar. A sugestão do enunciado menciona observar que . Vamos adaptar isso para o nosso caso.

Passo 4

Vamos fazer a substituição , ou seja:
Dessa forma, a derivada de em relação a é:
Agora, vamos substituir na integral:

Passo 5

Sabemos que . Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para :
Agora, precisamos resolver o integral , e para isso vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 6

A integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Lembre que . Então:
Substituindo de volta:
Agora, somamos dos dois lados:
Portanto:

Passo 8

Sabemos que . Substituindo:
Voltando à nossa integral original:

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Substituindo de volta:

Passo 10

Finalmente, avaliamos nos limites de a :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo de é dado por:

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Logo, uma estratégia para encontrar as assíntotas é verificar se o limite é finito. Em caso afirmativo, denotamos por o valor deste limite e verificamos se o limite é finito. Se este também for finito, denotamos por seu resultado e obtemos assim a assíntota . O mesmo vale quando . Utilize este procedimento para calcular as assíntotas das funções abaixo:
(a)
Nos problemas de 15 a 18 , encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação.
Quando , temos a assíntota horizontal . Quando temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta é uma assíntota oblíqua de , uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função indicada:
(a) de ;