Calcule o comprimento de arco da função y(x)=x^2 durante o intervalo [1,2]. (Sugestão: 1: observe que 1+t g^2(u)=sec ^2(u). 2: utilize integração por partes para calcular integral sec ^3(u) d u sabendo que tg^prime(u)=sec ^2(u) e também que integral sec (u) d u=ln |sec (u)+tg(u)|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o comprimento de arco da função no intervalo de . Esse tipo de problema está ligado ao cálculo de comprimentos de curvas, que faz parte do estudo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento de arco e algumas técnicas de integração, como substituição trigonométrica e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma função L = integrala^b raiz1 + ( dydx )^2 , dx entre os pontos dydx = 2x e :
No nosso caso, , então vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento de arco:
L = integral1^2 raiz1 + (2x)^2 , dx = integral1^2 raiz1 + 4x^2 , dx
Esse integral não é direto, então vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar. A sugestão do enunciado menciona observar que . Vamos adaptar isso para o nosso caso.

Passo 4

Vamos fazer a substituição x = 12 tan(u) , ou seja:
dx = 12 sec^2(u) , du
Dessa forma, a derivada de L = integral raiz1 + 4x^2 , dx = integral raiz1 + tan^2(u) cdot 12 sec^2(u) , du em relação a é:
Agora, vamos substituir na integral:

Passo 5

Sabemos que L = integral sec(u) cdot 12 sec^2(u) , du = 12 integral sec^3(u) , du . Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para :
Agora, precisamos resolver o integral , e para isso vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 6

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = sec(u) Rightarrow du = sec(u) tan(u) , du
dv = sec^2(u) , du Rightarrow v = tan(u)
Aplicando a fórmula:
integral sec^3(u) , du = sec(u) tan(u) - integral tan(u) cdot sec(u) tan(u) , du
= sec(u) tan(u) - integral sec(u) tan^2(u) , du

Passo 7

Lembre que integral sec(u) tan^2(u) , du = integral sec(u) (sec^2(u) - 1) , du = integral sec^3(u) , du - integral sec(u) , du . Então:
integral sec^3(u) , du = sec(u) tan(u) - ( integral sec^3(u) , du - integral sec(u) , du )
Substituindo de volta:
= sec(u) tan(u) - integral sec^3(u) , du + integral sec(u) , du
2 integral sec^3(u) , du = sec(u) tan(u) + integral sec(u) , du
Agora, somamos integral sec^3(u) , du = 12 sec(u) tan(u) + 12 integral sec(u) , du dos dois lados:
Portanto:

Passo 8

Sabemos que integral sec^3(u) , du = 12 sec(u) tan(u) + 12 ln |sec(u) + tan(u)| + C . Substituindo:
L = 12 integral sec^3(u) , du = 14 sec(u) tan(u) + 14 ln |sec(u) + tan(u)| + C
Voltando à nossa integral original:

Passo 9

Agora, precisamos voltar para a variável u = arctan(2x) . Lembrando que fizemos a substituição sec(u) = raiz1 + tan^2(u) = raiz1 + 4x^2 , então:
tan(u) = 2x
L = 14 raiz1 + 4x^2 cdot 2x + 14 ln | raiz1 + 4x^2 + 2x | g|1^2
= 12 x raiz1 + 4x^2 + 14 ln ( raiz1 + 4x^2 + 2x ) g|1^2
Substituindo de volta:

Passo 10

Finalmente, avaliamos nos limites de 12 cdot 2 cdot raiz1 + 16 + 14 ln ( raiz17 + 4 ) = raiz17 + 14 ln ( raiz17 + 4 ) a 12 cdot 1 cdot raiz1 + 4 + 14 ln ( raiz5 + 2 ) = raiz52 + 14 ln ( raiz5 + 2 ) :
Para L = ( raiz17 + 14 ln (raiz17 + 4) ) - ( raiz52 + 14 ln (raiz5 + 2) ) :
= raiz17 - raiz52 + 14 ln ( raiz17 + 4raiz5 + 2 )
Para :
Subtraindo:

Resposta

O comprimento de arco da função L = raiz17 - raiz52 + 14 ln ( raiz17 + 4raiz5 + 2 ) no intervalo de é dado por:

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