Nos problemas de 15 a 18 , encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial sem precisar resolver a equação. Isso tá ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar uma ferramenta chamada Fórmula de Abel, que nos ajuda a calcular o wronskiano diretamente a partir dos coeficientes da equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial na forma padrão. Geralmente, ela fica assim:
Aqui,
e
são funções que dependem de
. A fórmula de Abel usa esses coeficientes para encontrar o wronskiano.
Passo 3
A Fórmula de Abel nos diz que o wronskiano
das soluções é dado por:
Onde
é o wronskiano no ponto inicial
. Se assumirmos que
(geralmente é uma escolha conveniente), a fórmula simplifica para:
Passo 4
Então, para aplicar isso, precisamos identificar a função
da nossa equação diferencial. Uma vez que temos
, fazemos a integral de
em relação a
, multiplicamos por -1 e tiramos a exponencial disso para achar o wronskiano.
Passo 5
Vamos supor que nossa equação diferencial seja:
Com isso, identificamos
diretamente da equação.
Passo 6
Depois, calculamos a integral:
E então, aplicamos a exponencial:
Resposta
O wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada é: