Nos problemas de 15 a 18 , encontre o wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada sem resolver a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o wronskiano de duas soluções de uma equação diferencial sem precisar resolver a equação. Isso tá ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar uma ferramenta chamada Fórmula de Abel, que nos ajuda a calcular o wronskiano diretamente a partir dos coeficientes da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos escrever a equação diferencial na forma padrão. Geralmente, ela fica assim:
Aqui, e são funções que dependem de . A fórmula de Abel usa esses coeficientes para encontrar o wronskiano.

Passo 3

A Fórmula de Abel nos diz que o wronskiano das soluções é dado por:
Onde é o wronskiano no ponto inicial . Se assumirmos que (geralmente é uma escolha conveniente), a fórmula simplifica para:

Passo 4

Então, para aplicar isso, precisamos identificar a função da nossa equação diferencial. Uma vez que temos , fazemos a integral de em relação a , multiplicamos por -1 e tiramos a exponencial disso para achar o wronskiano.

Passo 5

Vamos supor que nossa equação diferencial seja:
Com isso, identificamos diretamente da equação.

Passo 6

Depois, calculamos a integral:
E então, aplicamos a exponencial:

Resposta

O wronskiano das duas soluções da equação diferencial dada é:

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