lim x +infty[f(x)-(m x+b)]=0 ou lim x -infty[f(x)-(m x+b)]=0
Quando m=0, temos a assíntota horizontal y=b. Quando m neq 0 temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta y=x-4 é uma assíntota oblíqua de f(x)=x^2-3 x+2x+1, uma vez que
lim x +infty[x^2-3 x+2x+1-(x-4)] & =lim x +infty[(x^2-3 x+2)-(x^2-3 x-4)x+1] & =lim x +infty[6x+1]=0
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função f indicada:
(a) y=3 x+2 de f(x)=3 x+2+sen(x)x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a reta é uma assíntota da função . A gente vai trabalhar com o conceito de assíntota oblíqua, que aparece quando a inclinação da reta ( ) não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa assíntota. Uma assíntota oblíqua ocorre quando, ao fazer limx to pminfty [f(x) - (mx + b)] = 0 tender para mais ou menos infinito, a diferença entre a função limx to pminfty [ 3x + 2 + sin(x)x - (3x + 2) ] = 0 e a reta tende a zero. Ou seja:
No nosso caso, e , então queremos ver se:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
3x + 2 + sin(x)x - 3x - 2 = sin(x)x
Então, precisamos calcular:
limx to pminfty sin(x)x
Sabemos que | sin(x)x | <= 1|x| está sempre entre -1 e 1, ou seja, limx to pminfty sin(x)x = 0 . Então:
À medida que tende para mais ou menos infinito, tende para 0. Assim, pelo teorema do sanduíche (ou teorema da comparação):

Resposta

Como o limite deu zero, concluímos que a reta é uma assíntota oblíqua da função .

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