Quando , temos a assíntota horizontal . Quando temos uma assíntota oblíqua. Por exemplo, a reta é uma assíntota oblíqua de , uma vez que
Verifique, nos itens abaixo, que a reta dada é uma assíntota da função indicada:
(a) de ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a reta é uma assíntota da função . A gente vai trabalhar com o conceito de assíntota oblíqua, que aparece quando a inclinação da reta () não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa assíntota. Uma assíntota oblíqua ocorre quando, ao fazer tender para mais ou menos infinito, a diferença entre a função e a reta tende a zero. Ou seja:
No nosso caso, e , então queremos ver se:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Então, precisamos calcular:
Sabemos que está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então:
À medida que tende para mais ou menos infinito, tende para 0. Assim, pelo teorema do sanduíche (ou teorema da comparação):
Resposta
Como o limite deu zero, concluímos que a reta é uma assíntota oblíqua da função .