2,0 Calcule o comprimento de arco da função f(x) = e^(x) + (1/4)e^(-x) entre x = -1 e x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da função no intervalo de a . Aqui, vamos usar o conceito de comprimento de arco em Cálculo, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular a derivada da função, elevar ao quadrado, somar 1, e então integrar isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de é e a derivada de é . Então,

Passo 3

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Explicando, isso significa multiplicar a expressão por ela mesma.

Passo 4

Vamos expandir o quadrado:

Passo 5

Agora, adicionamos 1 ao resultado para preparar a função sob a raiz do comprimento do arco:

Passo 6

Percebemos que a expressão é um quadrado perfeito. Podemos reescrever assim:
Portanto, a raiz quadrada dessa expressão é simplesmente .

Passo 7

Agora, podemos formular a integral para o comprimento do arco:

Passo 8

Vamos calcular essa integral:
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar de a :
Simplificando:

Resposta

O comprimento do arco da função no intervalo de a é:

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