Calcule o comprimento de arco da função
entre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o comprimento do arco da função
no intervalo de
a
. Aqui, vamos usar o conceito de comprimento de arco em Cálculo, que envolve derivadas e integrais. Vamos precisar calcular a derivada da função, elevar ao quadrado, somar 1, e então integrar isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então,
Passo 3
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Explicando, isso significa multiplicar a expressão
por ela mesma.
Passo 4
Vamos expandir o quadrado:
Passo 5
Agora, adicionamos 1 ao resultado para preparar a função sob a raiz do comprimento do arco:
Passo 6
Percebemos que a expressão
é um quadrado perfeito. Podemos reescrever assim:
Portanto, a raiz quadrada dessa expressão é simplesmente
.
Passo 7
Agora, podemos formular a integral para o comprimento do arco:
Passo 8
Vamos calcular essa integral:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, vamos avaliar de
a
:
Simplificando:
Resposta
O comprimento do arco da função no intervalo de
a
é:
Exercícios relacionados
Suponha que soluções da equação de Cauchy-Euler (linear, homogênea, de segunda ordem, com coeficientes variáveis):
sejam da forma
.
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas, , a solução geral da equação de Cauchy-Euler é dada por:
Mostre que se as raízes da equação característica forem reais e repetidas,